《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

23. (本小题满分 11 分)[图形感知]如图(1)，在四边形$ABCD$中，已知$\angle BAD = \angle ABC = \angle BDC = 9 0 ^ { \circ }$，$AD = 2$，$AB = 4$.
(1) 求$CD$的长.
[探究发现]老师指导同学们对图(1)所示的纸片进行了折叠探究.
在线段$CD$上取一点$E$，连接$BE$. 将四边形$ABED$沿$BE$翻折得到四边形$A'BED'$，其中$A'$，$D'$分别是$A$，$D$的对应点.
(2) 其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
①甲：点$D'$恰好落在边$BC$上，延长$A'D'$交$CD$于点$F$，如图(2). 判断四边形$DBA'F$的形状，并说明理由；
②乙：点$A'$恰好落在边$BC$上，如图(3). 求$DE$的长.
(3) 如图(4)，连接$DD'$交$BE$于点$P$，连接$CP$. 当点$E$在线段$CD$上运动时，线段$CP$是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由.

答案：
23.[解析]本题考查了翻折的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理.
(1)由勾股定理，得BD=$\sqrt{2²+4²}$=2$\sqrt{5}$，再证明△ADB∽△DBC，利用相似三角形的性质求解即可；
(2)①由折叠的性质得∠A=∠A'=90°，∠ABD=∠A'BD'，再证明∠A'BD=90°，即可得解；②延长AD和A'D'相交于点Q，连接BQ，证明四边形ABA'Q是正方形，再证明△DQE∽△CBE，据此求解即可；
(3)利用折叠的性质求得∠BPD=90°，推出点P在以BD为直径的⊙O上.连接OC，OP，得到CP≤OC−OP，据此求解即可.
解:
(1)
∵∠BAD=90°，AD=2，AB=4，
∴BD=$\sqrt{2²+4²}$=2$\sqrt{5}$.
∵∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°，
∴AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴△ADB∽△DBC，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AB}{CD}$，
∴$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4}{CD}$，
∴CD=4$\sqrt{5}$.
(2)①四边形DBA'F是矩形.理由如下：
由折叠的性质，得∠A=∠A'=90°，∠ABD=∠A'BD'.
∵∠ABD+∠DBC=∠ABC=90°，
∴∠A'BD'+∠DBC=90°，
∴四边形DBA'F是矩形.
②如图
(1)，延长AD和A'D'相交于点Q，连接BQ.由折叠的性质，得∠A=∠BA'Q=90°，∠ABD=∠A'BD'，∠EBD=∠EBD'.
∵点A'恰好落在边BC上，
∴∠ABA'=90°，
∴四边形ABA'Q是矩形.
∵AB=A'B=4，
∴四边形ABA'Q是正方形.
∵∠ABE=∠ABD+∠EBD=∠A'BD'+∠EBD'=∠A'BE=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴点E在对角线BQ上.
∵BD=2$\sqrt{5}$，CD=4$\sqrt{5}$，
∴BC=$\sqrt{BD²+CD²}$=$\sqrt{(2\sqrt{5})²+(4\sqrt{5})²}$=10.
∵四边形ABA'Q是正方形，
∴AQ//CB，
∴△DQE∽△CBE，
∴$\frac{DE}{CE}$=$\frac{DQ}{BC}$.
∵DQ=AQ−AD=2，
∴$\frac{DE}{CE}$=$\frac{DQ}{BC}$=$\frac{2}{10}$=$\frac{1}{5}$，
∴DE=$\frac{1}{6}$CD=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$.

(3)存在.理由如下：如图
(2)，由折叠的性质，得∠EBD=∠EBD'，BD=BD'，
∴BE是线段DD'的垂直平分线，
∴∠BPD=90°，
∴点P在以BD为直径的⊙O上.连接OC，OP，
∴CP≥OC−OP，
三角形两边之差小于第三边即点P在线段OC上时，线段CP存在最小值.
∵OC=$\sqrt{OD²+CD²}$=$\sqrt{(\sqrt{5})²+(4\sqrt{5})²}$=$\sqrt{85}$，
∴线段CP的最小值为$\sqrt{85}$−$\sqrt{5}$.