《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

19.(本小题满分 10 分)综合与实践
[活动背景]
数学活动课上,老师提供了如下素材:某窗户生产厂家要用一根长为 $6 m$ 的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架 $ABCD$(如图),要求恰好用完整条铝合金型材(接缝及型材宽度忽略不计).
[活动任务]
结合素材信息,运用所学数学知识,给出合理的窗户框架设计方案.
[方案一]
甲学习小组从美观角度出发,计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的 $5:3$.请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽 $AB$.
[方案二]
乙学习小组从实用角度出发,计划把窗户面积设计得尽可能大,从而使采光效果更好.请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积.

答案： 19.[解析]本题考查了二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法.
解：[方案一]由题意，设窗户框架的宽AB为xm，AD长为ym.
$\because$“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为6m，
$\therefore 3x+2y=6.\because$长宽之比为$5:3$，
$\therefore y:x=5:3$，即$y=\frac{5}{3}x$.
将$y=\frac{5}{3}x$代入$3x+2y=6$，得$3x+2×\frac{5}{3}x=6$，解得$x=\frac{18}{19}$.
故窗户框架的宽AB为$\frac{18}{19}m$.
[方案二]由题意，设窗户框架的长AD为xm，则宽AB为$\frac{6-2x}{3}m,\therefore S=\frac{6-2x}{3}· x$，即$S=-\frac{2}{3}x^{2}+2x$，
$\therefore$要使窗户框架的面积最大，则$x=-\frac{2}{2×(-\frac{2}{3})}=1.5$，
于是宽为$\frac{6-2x}{3}=\frac{6-2×1.5}{3}=1(m)$，
$\therefore$当$x=1.5$时，S最大值为1.5，
$\therefore$要使做成的窗户面积最大，故该窗户框架的宽AB，长AD分别为1米，1.5米时，窗户的面积最大，最大值为$1.5m^{2}$.

20.(本小题满分 12 分)如图,$A(-6,0)$,$B(0,8)$,点 $M$ 在线段 $OB$ 上,将 $\triangle ABM$ 沿直线 $AM$ 折叠,点 $B$ 恰好落在点 $B'(a,0)$ 处.
(1)求 $a$ 的值;
(2)求直线 $AM$ 的表达式;
(3)若直线 $y=-x+t$ 与直线 $AM$ 的交点在直线 $x=a$ 的左侧,请直接写出 $t$ 的取值范围.

答案：
20.[解析]本题考查了坐标与图形、勾股定理、解三角形、翻折的性质、一次函数的性质.
解：
(1)$\because A(-6,0),B(0,8)$，
$\therefore OA=6,OB=8.\because \angle AOB=90^{\circ}$，
$\therefore AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=10$.
$\because$将$\triangle ABM$沿直线AM折叠，点B恰好落在点$B^{\prime}(a,0)$处，
$\therefore AB^{\prime}=AB=10$，
$\therefore OB^{\prime}=10-6=4,\therefore B^{\prime}(4,0)$，
$\therefore a=4$.
(2)设$OM=x$，根据折叠的性质，
得$BM=B^{\prime}M=8-x,AB=AB^{\prime}$.
由
(1)，得$OB^{\prime}=4$.
$\because B^{\prime}M^{2}=OM^{2}+OB^{\prime2}$，
$\therefore (8-x)^{2}=4^{2}+x^{2}$，
解得$x=3$，故$M(0,3)$.
设直线AM的表达式为$y=kx+3$，
$\therefore -6k+3=0$，解得$k=\frac{1}{2}$.
故直线AM的表达式为$y=\frac{1}{2}x+3$.
(3)由
(1)，得$a=4$，
$\therefore$直线$y=-x+t$与直线AM的交点在直线$x=4$的左侧.
如图，直线AM与直线$x=4$交于点N.

当$x=4$时，$y=\frac{1}{2}x+3=\frac{1}{2}×4+3=5,\therefore N(4,5)$.
$\because$直线$y=-x+t$与直线AM的交点在直线$x=a$的左侧，$\therefore$直线$y=-x+t$经过点N时恰好是临界点，
$\therefore 5=-4+t$，解得$t=9$，
$\therefore t$的取值范围为$t＜9$.