《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

22.(本小题满分 10 分)随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升.某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求.据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低 300 元，用 50 000 元购买甲型健身器材的数量和用 56 000 元购买乙型健身器材的数量相同.
(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元.
(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共 20 台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的 3 倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元?

答案： 22.[解析]本题考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的性质应用.
解：
(1)设甲型健身器材价格为$x$元，则乙型健身器材价格为$(x + 300)$元，则$\frac{50000}{x}=\frac{56000}{x + 300}$，解得$x = 2500$，经检验，$x = 2500$是原方程的根.此时$x + 300 = 2800$.
故甲型健身器材价格为$2500$元，则乙型健身器材的价格为$2800$元.
(2)设甲型健身器材买了$a$个，$a\leq3(20 - a)$，即$a\leq15$，且$a$为正整数，则$w = 2800(20 - a) + 2500a = -300a + 56000$.
由$-300＜0$，得$w$随$a$的增大而减小，则当$a = 15$时，$w$取得最小值，且最小值为$w = -300×15 + 56000 = 51500(元)$.
故购买甲型健身器材$15$台，购买乙型健身器材$5$台时，费用最低，最低费用为$51500$元.

23.(本小题满分 10 分)一次函数$y = 2x + 4$的图象与反比例函数$y = \frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(m，6)$，
与$x$轴交于点$B$，与$y$轴交于点$C$.
(1)求$m，k$的值.
(2)D 为反比例函数图象上的一点且横坐标大于$m$.
①如图(1)，若点 D 的横坐标为 4，连接$AD$，E 为线段$AD$上一点，且$\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}$，求点 E 的坐标；
②如图(2)，M 为线段$OC$上一点，且$CM = 1$，四边形$OMDN$是平行四边形，连接$AN$，若$\angle BAN = 45^{\circ}$，求点 D 的坐标.

答案：
23.[解析]本题考查了反比例函数与一次函数的综合.
(1)把对应的点代入对应的函数表达式来进行计算；
(2)①过点$A$作$AH \perp x$轴交$x$轴于点$H$，过点$E$作$EM \perp AH$交$AH$于点$M$，过点$D$作$DN \perp AH$交$AH$于点$N$，利用相似三角形的判定和性质结合已知比例来进行计算；
②过点$C$作$CP \perp AB$交$AN$于点$P$，过点$P$作$PK \perp y$轴于点$K$，过点$A$作$AG \perp y$轴于点$G$，利用等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、待定系数法、平行四边形的性质来进行计算.
解：
(1)由题意可知，点$A(m,6)$在一次函数$y = 2x + 4$的图象上，则$6 = 2m + 4$，解得$m = 1$，$\because$点$A(1,6)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，$\therefore6 = \frac{k}{1}$，解得$k = 6$，则$m = 1,k = 6$.
(2)①过点$A$作$AH \perp x$轴交$x$轴于点$H$，过点$E$作$EM \perp AH$交$AH$于点$M$，过点$D$作$DN \perp AH$交$AH$于点$N$，如图
(1)所示，

则$\angle AME = \angle AND = 90^{\circ}$，$\therefore ME // ND$，$\therefore \triangle MAE \backsim \triangle NAD$，$\because \frac{AM}{AN}=\frac{ME}{ND}$.
$\because$点$D$的横坐标为$4$，$\therefore$点$D$的纵坐标为$y = \frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.
$\because \frac{AE}{ED}=\frac{1}{2},\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{1}{3}$，$\therefore \frac{AM}{AN}=\frac{ME}{ND}=\frac{1}{3}$，$\because x_{D} = 4,x_{A} = 1$，$\therefore DN = 3$，则$\frac{ME}{3}=\frac{1}{3}$，解得$ME = 1$，$\therefore x_{E} = 1 + 1 = 2$.
$\because y_{A} = 6,y_{D}=\frac{3}{2}$，$\therefore AN = 6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$，$\therefore \frac{AM}{\frac{9}{2}}=\frac{1}{3}$，解得$AM = \frac{3}{2}$，则$y_{E} = 6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$，故点$E(2,\frac{9}{2})$.
②$\because$一次函数$y = 2x + 4$的图象与$y$轴交于点$C$，令$x = 0$，则$y = 4$，$\therefore C(0,4)$.
$\because CM = 1$，$\therefore M(0,3)$，如图
(2)，过点$C$作$CP \perp AB$交$AN$于点$P$，过点$P$作$PK \perp y$轴于点$K$，过点$A$作$AG \perp y$轴于点$G$，

则$\angle AGC = \angle CKP = 90^{\circ}$.
$\because \angle GAC + \angle ACG = \angle ACG + \angle PCK = 90^{\circ}$，$\therefore \angle GAC = \angle PCK$.
$\because \angle BAN = 45^{\circ}$，$\therefore \triangle ACP$为等腰直角三角形，$\therefore AC = CP$，$\therefore \triangle GAC \cong \triangle KCP(AAS)$.
$\because$点$A(1,6),C(0,4)$，$\therefore AG = CK = 1,CG = PK = 2$.
$\because$点$M$与点$K$重合，$OM = 3$，$\therefore$点$P(2,3)$.
设直线$AN$的表达式为$y = kx + b$，则$\begin{cases}3 = 2k + b,\\6 = k + b.\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -3,\\b = 9.\end{cases}$$\therefore y = -3x + 9$.
设点$N(m,-3m + 9)$，$\because$四边形$OMDN$是平行四边形，$\therefore x_{D} = 0 + m - 0 = m,y_{D} = 3-3m + 9 = -3m + 12$，则$D(m,-3m + 12)$.
$\because D$为反比例函数图象上的一点，$\therefore -3m + 12 = \frac{6}{m}$，解得$m = 2 + \sqrt{2}$或$m = 2- \sqrt{2}$.
$\because D$的横坐标大于$1$，$\therefore m = 2 + \sqrt{2}$，$\therefore -3m + 12 = -3(2 + \sqrt{2}) + 12 = 6-3\sqrt{2}$.
故点$D$的坐标为$(2 + \sqrt{2},6-3\sqrt{2})$.
解后反思 本题是函数与几何图形的综合题，需要灵活运用一次函数与坐标轴的交点、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质和解一元二次方程.