《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

9. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB // CD, \angle BAD=90°, \angle B=60°, CD=\frac{1}{2}AB=3$，点$P$在边$BC$，$CD$上运动(不含$B,D$)，过点$P$作$PE \perp AB$，垂足为$E$. 设$BE$的长度为$x$，$\triangle APE$的面积为$y$，则下列结论正确的是(AC).


A.边$BC$的长为6
B.$P$在$BC$上时，$y=\sqrt{3}x(6-x)$
C.$P$在$CD$上时，$y=\frac{3\sqrt{3}}{2}(6-x)$
D.$y$随$x$的增大而增大

答案：
9.AC [解析]本题考查了矩形的判定和性质、解直角三角形以及动点的函数表达式.
如图
(1)，过点C作$CF\perp AB$于点F.

∵$AB// CD$，$\angle BAD=90^{\circ}$，
∴$\angle ADC=90^{\circ}$，
∴四边形ADCF为矩形，
∴$AF=CD=\frac{1}{2}AB=3$，
∴$BF=AF=3$.
在$Rt\triangle BFC$中，$BC=\frac{BF}{\cos60^{\circ}}=2BF=6$.
故A正确；
当点P在BC上时.
∵$PE\perp AB$，$\angle B=60^{\circ}$，$AB=6$，
$BE=x$，
∴$AE=AB-BE=6-x$，
$PE=BE·\tan60^{\circ}=\sqrt{3}x$，
∴$y=\frac{1}{2}AE· PE=\frac{1}{2}×\sqrt{3}x(6-x)$.
故B错误；
如图
(2)，当点P在CD上时(设此时点P为点$P'$)，作$P'E'\perp AB$于点$E'$，$CF\perp AB$于点F，连接$AP'$，

则$P'E'=CF=BF·\tan60^{\circ}=3\sqrt{3}$，
∴$y=\frac{1}{2}AE'· P'E'=\frac{3\sqrt{3}}{2}(6-x)$.
故C正确；
当$y=\frac{3\sqrt{3}}{2}(6-x)$时，y随着x的增大而减小，故D错误.
综上所述，故选AC.
知识拓展 判断动点形成的函数图象的基本步骤：
①利用图形的全等、图形的相似、勾股定理以及三角函数的知识求出动点的函数关系式；
②根据一次函数、反比例函数、二次函数中参数对函数图象的影响来判断函数的图象，有时还需要分情况来进行讨论.

10. 已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c$，自变量$x$与函数值$y$的部分对应值如下表.

下列说法正确的是(BCD).

A.若$c \leq 0$，则函数图象的开口向上
B.关于$x$的方程$ax^{2}+bx+c=m$的两个根是$-1$和4
C.点$(a, c)$在一次函数$y=2x+2$的图象上
D.代数式$bc$的最大值为$\frac{3}{2}$

答案： 10.BCD [解析]本题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求出函数表达式.
把$(1,2)$，$(2,2)$代入$y=ax^{2}+bx+c$，
得$\begin{cases}a+b+c=2,\\4a+2b+c=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-3a,\\c=2+2a,\end{cases}$
∴$y=ax^{2}-3ax+2a+2$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$.
当$c\leq0$时，$2+2a\leq0$，
∴$a\leq-1$，
∴抛物线的开口向下.
故选项A错误；
∵抛物线的对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$，
∴$x=-1$与$x=4$的函数值相同，均为m，
∴关于x的方程$ax^{2}+bx+c=m$的两个根是-1和4.
故选项B正确；
∵$c=2+2a$，
∴$(a,c)$为$(a,2a+2)$，
$(a,c)$在直线$y=2x+2$上.
故选项C正确；
∵$bc=-3a(2a+2)=-6a^{2}-6a=-6(a+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{2}$，
∴当$a=-\frac{1}{2}$时，代数式bc的最大值为$\frac{3}{2}$.故D选项正确.
综上所述，故选BCD.
方法诠释 在利用待定系数法求二次函数表达式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出表达式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其交点式来求解.

11. 计算：$(-2)^{0}-3^{-1}=$$\frac{2}{3}$.

答案： 11.$\frac{2}{3}$ [解析]本题考查了零指数幂、负整数指数幂.
原式$=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.

12. 如图，圆锥的底面圆心为$O$，顶点为$A$，母线$l$长为4，母线$l$与高$AO$的夹角为$30°$，那么圆锥侧面展开图的面积为$8\pi$.

答案：
12.$8\pi$ [解析]本题考查了直角三角形的性质、圆锥侧面积.
如图，

由题意，得$\angle BAO=30^{\circ}$，$\angle AOB=90^{\circ}$，
∴$OB=\frac{1}{2}AB=2$.
直角三角形$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半
∴圆锥侧面展开图的面积为$\pi× OB× l=\pi×2×4=8\pi$.

13. 如图，在$□ ABCD$中，点$E$在边$BC$上，将$\triangle ABE$沿$AE$折叠，点$B$的对应点$B'$恰好落在边$DC$上；将$\triangle ADB'$沿$AB'$折叠，点$D$的对应点$D'$恰好落在$AE$上. 若$\angle C=\alpha$，则$\angle CB'E=$$\frac{\alpha}{3}$.(用含$\alpha$的式子表示)

答案： 13.$\frac{a}{3}$ [解析]本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、平行线的性质.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$\angle BAD=\angle C=\alpha$，$AB// CD$，
由折叠的性质可知，$\angle DAB'=\angle B'AE=\angle BAE$，$\angle ABE=\angle AB'E$，$\angle AB'D=\angle AB'D'$.
∵$\angle DAB'+\angle B'AE+\angle BAE=\angle BAD=\alpha$，
∴$\angle DAB'=\angle B'AE=\angle BAE=\frac{\alpha}{3}$.
∵$AB// CD$，
∴$\angle AB'D=\angle BAB'=\frac{2}{3}\alpha$，$\angle ABE=180^{\circ}-\alpha$，
∴$\angle ABE=\angle AB'E=180^{\circ}-\alpha$，
∴$\angle CB'E=180^{\circ}-\frac{2}{3}\alpha-(180^{\circ}-\alpha)=\frac{\alpha}{3}$.

14. 如图(1)，点$A_1(x_1,y_1)$是函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$图象上任意一点，过$A_1$向$y$轴作垂线交$y$轴于点$B_1$，向$x$轴作垂线交$x$轴于点$C_1$，矩形$A_1B_1OC_1$的周长$L_1=2(A_1B_1+A_1C_1)=2(x_1+y_1)=2(x_1+\frac{1}{x_1})$，当$x_1=\frac{1}{x_1}$时，$L_1$有最小值4；如图(2)，点$A_2(x_2,y_2)$是函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$图象上任意一点，同样作矩形$A_2B_2OC_2$，它的周长$L_2=2(x_2+\frac{2}{x_2})$，同理得$L_2$的最小值为$4\sqrt{2}$；$·s$；点$A_n(x_n,y_n)$是函数$y=\frac{n}{x}(x＞0, n$为正整数$)$图象上任意一点，作矩形$A_nB_nOC_n$，它的周长为$L_n$，则$L_n$的最小值为$4\sqrt{n}$.

答案： 14.$4\sqrt{n}$ [解析]本题考查了反比例函数比例系数的几何意义.
由题意，得$L_{1}=2(x_{1}+\frac{1}{x_{1}})$，当$x_{1}=\frac{1}{x_{1}}$时，$L_{1}$有最小值$4=4\sqrt{1}$；
$L_{2}=2(x_{2}+\frac{2}{x_{2}})$，当$x_{2}=\frac{2}{x_{2}}$时，
$L_{2}$有最小值$4\sqrt{2}$；
$L_{3}=2(x_{3}+\frac{3}{x_{3}})$，当$x_{3}=\frac{3}{x_{3}}$时，
$L_{3}$有最小值$4\sqrt{3}$；
$·s$；
$L_{n}=2(x_{n}+\frac{n}{x_{n}})$，当$x_{n}=\frac{n}{x_{n}}$时，
$L_{n}$有最小值$4\sqrt{n}$.
归纳总结 数列规律型：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式.