《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

20.(本小题满分 8 分)如图，$AB$是$\odot O$的直径，$C$为$\odot O$上一点，$P$为$\odot O$外一点，$OP// AC$，且$\angle OBP = 90^{\circ}$，连接$PC$.
(1)求证：$PC$与$\odot O$相切；
(2)若$AO = 3$，$OP = 5$，求$AC$的长.

答案：
20.[解析]本题考查了圆的切线的证明以及相关的计算.
(1)证明：如图
(1)，连接$OC$，

$\because OC = OA$，$\therefore \angle OAC = \angle OCA$.
$\because OP // AC$，$\therefore \angle OAC = \angle BOP$，$\angle OCA = \angle COP$，$\therefore \angle COP = \angle BOP$.
$\because OP = OP,OC = OB$，$\therefore \triangle COP \cong \triangle BOP(SAS)$，$\therefore \angle OCP = \angle OBP = 90^{\circ}$，$\therefore OC \perp PC$，$\therefore PC$与$\odot O$相切.
(2)解：如图
(2)，连接$BC$交$OP$于点$D$，

$\because \triangle COP \cong \triangle BOP$，$\therefore PC = PB,OB = OC$，$\therefore OP$垂直平分$BC$.
$\because AO = BO = 3,OP = 5,\angle OBP = 90^{\circ}$，$\therefore BP = \sqrt{OP^{2}-OB^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$.
$\because S_{\triangle OBP}=\frac{1}{2}OB · BP=\frac{1}{2}OP · BD$，$\therefore BD = \frac{OB · BP}{OP}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$，$\therefore BC = 2BD=\frac{24}{5}$.
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore AB = 2OA = 6,\angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore AC = \sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{6^{2}-(\frac{24}{5})^{2}}=\frac{18}{5}$.
方法诠释 判定圆的切线时，其基本思路是：①若已知直线与圆有公共点，当已知点在圆上时，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连半径，证垂直；②若未知直线与圆有交点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：无切点，作垂线，证相等.

21.(本小题满分 9 分)某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试(百分制)，从中随机抽取了部分学生的成绩(成绩用$x$表示，单位:分)，并对数据(成绩)进行整理，数据分为五组，
a. 抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下：


b. D 组的数据:60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79.
请根据以上信息完成下列问题：
(1)求随机抽取的学生人数；
(2)统计表中的$m =$8，扇形统计图中 E 组所对应扇形的圆心角为144度；
(3)抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为70分；
(4)若该校八年级共有 800 名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到 60 分及以上的学生人数.

答案： 21.[解析]本题考查了与频数分布表、扇形统计图有关的计算.
(1)利用对应的频数与百分比的关系求出样本容量；
(2)利用频数之和为样本容量以及所有的百分比之和为1来进行计算，再用E组人数占总人数的比例乘以$360$度求出对应的圆心角的度数；
(3)根据中位数的概念来确定；
(4)利用样本估计总体.
解：
(1)$5 ÷ 10\% = 50(人)$.
故随机抽取的学生人数为$50$人.
(2)$8$ $144$ 提示：$m = 50 - 1 - 5 - 16 - 20 = 8$，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为$\frac{20}{50}×360^{\circ}=144^{\circ}$.
(3)$70$ 提示：$\because 1 + 5 + 8 + 16 + 20＞26$，$1 + 5 + 8＜25$，
$\therefore$从小到大排列第$25$和$26$位在D组，结合D组数据可得第$25$和$26$位成绩均为$70$分，$\therefore$抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为$70$分.
(4)$800×\frac{16 + 20}{50}=576(人)$.
故估计此次体育测试成绩达到$60$分及以上的学生人数为$576$人.
知识拓展 频数分布表和频率分布图中常用到的关系有：
(1)所有的频率之和为1；
(2)所有的频数之和为样本容量；
(3)每组的频数除以频率等于样本容量.