《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

23. (本小题满分 13 分)[问题情境]
小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为$4$的正方形$ABCD$纸片上进行了关于折叠的研究性学习.
[探究感悟]
如图(1)，小明在边$AB$上取点$E$($E$不与$A$，$B$重合)，连接$DE$，将$\triangle ADE$沿$DE$翻折，使得点$A$的对应点$A_1$恰好落到对角线$BD$上.则此时线段$BE$的长是；
[深入探究]
小明继续将$\triangle ADE$沿$DE$翻折，发现:$A_1$，$B$，$C$三点能构成等腰三角形.请求出此时线段$BE$的长;
[拓展延伸]
如图(2)，小明又在边$CD$上取点$F$($F$不与$C$，$D$重合)，并将四边形$ADFE$沿$EF$翻折，使得点$A$的对应点$A_1$恰好落在边$BC$上.记$A_1D_1$($D_1$为$D$的对应点)与$CD$的交点为$G$，连接$AD_1$，小明再次发现:线段$EF$与$AD_1$的长度之和存在最小值.请求出此时线段$CG$的长.

答案：
23.[解析]本题考查了与正方形折叠有关的计算.
[探究感悟]根据正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的判定和性质进行计算;
[深入探究]分A₁C=BC和A₁C=A₁B 两种情况进行计算;
[拓展延伸]先构造全等三角形把线段EF进行转换，再利用图形的对称性质得到A₁D=AD,然后利用三角形的三边关系以及勾股定理和相似的判定和性质进行计算.
　解:[探究感悟]8−4$\sqrt{2}$　提示:
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD=AB=BC=CD=4,∠DAB=
　∠ABC=∠DCB=∠ADC=90°,∠DBA=45°,
∴BD=4√2,
　由折叠，可知∠DA₁E=∠A=90°,
A₁D=AD=4,
∴∠BA₁E=90°,BA₁=BD−A₁D=
　4√2−4.
∵∠DBA=45°,
∴△A₁EB为等腰直角三角形，
∴BE=√2A₁B=√2×(4√2−4)=
　8−4√2.
[深入探究]①当A₁C=BC时,如图
(1),作A₁F⊥CD于点F,延长FA₁交AB 于点G,
　　　　　
　则四边形ADFG为矩形，
∴DF=AG,FG=AD=4.
∵BC=CD,
∴A₁C=CD.
　　由折叠,可得AD=A₁D,∠DA₁E=
　∠A=90°,
∴A₁C=CD=A₁D,
∴△A₁CD为等边三角形，
∴∠DA₁C=60°.
∵A₁F⊥CD,
∴∠DA₁F=$\frac{1}{2}$∠DA₁C=30°,
DF=CF=$\frac{1}{2}$CD=2,
∴A₁F=$\sqrt{3}$DF=2$\sqrt{3}$,GA₁=FG−A₁F=4−2$\sqrt{3}$
在Rt△A₁GE中,EG=A₁G·tan60°=
(4−2√3)·$\sqrt{3}$=4√3−6,
∵AG=DF=2,
∴BG=AB−AG=2,
∴BE=BG+EG=4√3−6+2=
4√3−4.
②当A₁C=A₁B时,如图
(2),作A₁F⊥CD于点F,延长FA₁交AB于点G,作A₁H⊥BC于点H,
　　　　
则CH=BH=$\frac{1}{2}$BC=2.
又四边形CFA₁H为矩形，四边形
BGFC为矩形，
∴A₁F=CH=2,BG=CF,FG =BC=4,
∴AG=FG−A₁F=2,
在Rt△A₁FD中,sin∠A₁DF=$\frac{A₁F}{A₁D}$=
$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$,
∴∠A₁DF=30°,
∴∠FA₁D=60°,DF=2$\sqrt{3}$,
∴BG=CF=CD−DF=4−2$\sqrt{3}$,∠EAG=180°−∠DA₁F−∠DA₁E=
30°,
在Rt△A₁GE中，
∵EG=A₁G·tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴BE=BG+EG=4−2$\sqrt{3}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=
4−$\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
综上所述，BE=4$\sqrt{3}$−4或4−$\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
[拓展延伸]如图
(3),连接AA₁,A₁D,
A₁D交AD于点O,作FK⊥AB,则四边形ADFK为矩形，

∴FK=AD=AB,
∠FEK+∠KFE=90°,
由折叠,可知AE=A₁E,A₁D=AD,
AA₁⊥FE,∠GA₁E=∠DAB=90°,OA=OA₁,OD=OD₁,
∴∠A₁AB+∠FEA=90°,A₁D=AD,
∴∠BAA₁=∠KFE;
又∠FKE=∠ABC=90°,FK=AB,
∴△EFK≌△A₁AB(ASA),
∴EF=AA₁,
∴EF+A₁D=AA₁+A₁D,
作点A关于BC的对称点A'，连接A' A₁,连接A' D交BC于点M,则A'B=AB=CD,A₁A'=AA₁,
∴EF+A₁D=A'A+A₁D ≥A'D,
∴当点A₁在A'D上时，即点A₁与点M重合时,EF+A₁D=A'D值最小;如图
(4).
　
　　　　　　　　　　　　　{
∵∠DCA₁=∠A'BA₁=90°,
∠CA₁D=∠BA₁A',A'B=CD,
∴△CDA₁≌△BA₁A'(AAS),
∴CA₁=BA₁=$\frac{1}{2}$BC=2.
设AE=A₁E=x,
则BE=AB−AE=4−x.
在Rt△A₁BE中，由勾股定理，得x²=2²+(4−x)²,
解得x=$\frac{5}{2}$,
∴AE=$\frac{5}{2}$,
∴BE=AB−AE=$\frac{3}{2}$,
∵∠ABC=∠C=90°=∠GA₁E,
∴∠BEA₁=∠CAG=90°−∠BA₁E,
∴△EBA₁∽△A₁CG,
∴$\frac{CG}{A₁B}$=$\frac{A₁C}{BE}$,即$\frac{CG}{2}$=$\frac{2}{\frac{3}{2}}$,
　　　　　　　　　　2
∴CG=$\frac{8}{3}$.