《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

22. (本小题满分 13 分)[问题提出]
甲、乙两人轮流从一堆石子中取石子，规定每次至少取 1 颗，最多取$m$ 颗，取到最后一颗者获胜. 设初始石子总数为$n$，探究先手或后手必胜的策略.
[问题探究]
(1)基础情形验证:当每次最多取 2 颗($m=2$)时，填写下表并总结规律：

结论:当$n$ 为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略.
(2)扩展情形分析:若每次最多取 3 颗($m=3$).
当$n=4$ 时，先手取 1 颗(或 2 颗或 3 颗)，后手相应可取 3 颗(或 2 颗或 1 颗). 因此后手有必胜的策略.
当$n=5$ 时，先手第一次取颗，可迫使后手陷入必输状态.
结论:当$n$ 为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略.
(3)数学归纳猜想:若每次最多取$m$ 颗($m\geqslant2$)，当$n$ 为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略.
[问题解决]
当$m=7,n=50$ 时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择 (先手或后手)，你的必胜策略是什么?
[问题拓展]
若规则改为每次至少取 2 颗(最后一次可取 1 颗)，最多取 4 颗，其余策略不变. 当$n=9$ 时，先手第一次应取颗以确保必胜.

答案： 22.[解析]本题考查了逻辑推理以及找规律.
解：[问题探究]
(1)是 是 否 是 3 提示：当$n = 4$时，先手取1颗，后面与后手和为3，即可先手必胜；
当$n = 5$时，先手取2颗，后面与后手和为3，即可先手必胜；
当$n = 6$时，不管先手取多少，后手每次都与先手和为3，即可后手必胜；
当$n = 7$时，先手取1颗，后面每次都与后手和为3，即可先手必胜，
∴填写下表并总结规律：
| 石子总数$(n)$ | 4 | 5 | 6 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 先手是否有必胜的策略 | 是 | 是 | 否 | 是 |
结论：当$n$为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略.
(2)1 4 提示：当$n = 4$时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）.因此后手有必胜的策略.
当$n = 5$时，先手第一次取1颗，可迫使后手陷入必输状态.
结论：当$n$为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略.
(3)$m + 1$ 提示：数学归纳猜想：若每次最多取$m$颗（$m\geq2$），当$n$为$(m + 1)$的倍数时，不管先手取多少，后手每次都与先手和为$m + 1$，则后手必胜，即后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略.
[问题解决]先手 提示：
∵$50÷(1 + 7)=6·s·s2$，
∴选择先手可以必胜，具体策略为先手第一次取2颗，后面每次都与后手和为8，则先手必胜.
[问题拓展]3 提示：若规则改为每次至少取2颗（最后一次可取1颗），最多取4颗，其余策略不变.当$n = 9$时，先手第一次应取$9-(2 + 4)=3$(颗)，后面不管后手怎么取都可以保证先手获胜.