《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

9. 如图，在平面直角坐标系中，$A$，$C$两点在坐标轴上，四边形$OABC$是面积为 4 的正方形. 若函数$y = \frac { k } { x } ( x ＞ 0 )$的图象经过点$B$，则满足$y \geq 2$的$x$的取值范围为(A).

A.$0 ＜ x \leq 2$
B.$x \geq 2$
C.$0 ＜ x \leq 4$
D.$x \geq 4$

答案： 9.A [解析]本题考查了正方形的性质、坐标与图形、反比例函数与不等式.
∵四边形OABC是面积为4的正方形，设点B的坐标为(b,b)，
∴b²=4，解得b=2(负值舍去)，
∴点B的坐标为(2,2).
∵函数y=$\frac{k}{x}$(x＞0)的图象经过点B,
∴满足y≥2的x的取值范围为0＜x≤2.故选A.

10. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度$y$(厘米/天)和光照强度$x$(勒克斯)之间存在一定关系. 在低光照强度范围$( 2 0 0 \leq x ＜ 1 0 0 0 )$内，$y$与$x$近似成一次函数关系；在中高光照强度范围$( x \geq 1 0 0 0 )$内，$y$与$x$近似成二次函数关系，其部分图象如图所示. 根据图象，下

列

结

论正确的是(B).

A.当$x \geq 1 0 0 0$时，$y$随$x$的增大而减小
B.当$x = 2 0 0 0$时，$y$有最大值
C.当$y \geq 0.6$时，$x \geq 1 0 0 0$
D.当$y = 0.4$时，$x = 6 0 0$

答案： 10.B [解析]本题考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式.
A.当x≥1000时,y随x的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意；B.由函数图象可知，抛物线的对称轴为x=$\frac{1000+3000}{2}$=2000，即当x=2000时,y有最大值，即B选项正确，符合题意；C.当y≥0.6时,1000≤x≤3000，即C选项错误，不符合题意；D.当y=0.4时，由函数图象可知，x对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意.故选B.
知识拓展 二次函数的图象和性质:对于二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0),当a＞0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小,在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a＜0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小.其对称轴是直线x=−$\frac{b}{2a}$，其顶点坐标是(−$\frac{b}{2a}$,$\frac{4ac−b²}{4a}$).

11. 写出使分式$\frac { 1 } { 2 x - 3 }$有意义的$x$的一个值 1.

答案： 11.1(答案不唯一) [解析]本题考查了分式有意义的条件.
∵分式$\frac{1}{2x−3}$有意义，
∴2x−3≠0，解得x≠$\frac{3}{2}$，
∴x的取值可以为1 (答案不唯一).
知识拓展 当分母不等于零时，分式有意义.当分母等于零时，分式无意义.分式是否有意义与分子的取值无关.

12. 在平面直角坐标系中，将点$P(3,4)$向下平移 2 个单位长度，得到的对应点$P'$的坐标是 (3,2).

答案： 12.(3,2) [解析]本题考查了点的平移.将点P(3,4)向下平移2个单位长度，得到的对应点P'的坐标是(3,4−2)，即(3,2).
点的平移规律：上加下减，左减右加

13. 若关于$x$的一元二次方程$x ^ { 2 } + 4 x - m = 0$有两个不相等的实数根，则实数$m$的取值范围是 m＞−4.

答案： 13.m＞−4 [解析]本题考查了一元二次方程根的判别式.
∵方程x²+4x−m=0有两个不相等的实数根，
∴△=4²−4×1×(−m)＞0，解得m＞−4.
知识拓展 一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)根的判别式△=b²−4ac与根的关系：当△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△＜0时，一元二次方程没有实数根.

14. 如图，取直线$y = -x$上一点$A _ { 1 } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } )$，①过点$A _ { 1 }$作$x$轴的垂线，交$y = \frac { 1 } { x }$于点$A _ { 2 } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } )$；②过点$A _ { 2 }$作$y$轴的垂线，交$y = -x$于点$A _ { 3 } ( x _ { 3 } , y _ { 3 } )$；③ ……如此循环进行下去. 若点$A _ { 1 }$的坐标为$(1,-1)$，则点$A _ { 2 0 2 5 }$的坐标是 (1,−1).

答案：
14.(1,−1) [解析]本题考查了一次函数和反比例函数的规律探究.
如图.
∵点A₁的坐标为(1,−1)，
∴点A₂的横坐标为1，
∴点A₂的坐标为(1,1)；
∴点A₃的纵坐标为1，
∴点A₃的坐标为(−1,1)；同理点A₄的横坐标为−1，
∴点A₄的坐标为(−1,−1)；同理点A₅的坐标为(1,−1)，
∴四个点一个循环.
∵2025÷4=506……1，
∴点A₂₀₂₅的坐标与点A₁相同，是(1,−1).

15. 如图，在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle ABC = 9 0 ^ { \circ }$，$AB = 6$，$BC = 8$. 点$P$为边$AC$上异于$A$的一点，以$PA$，$PB$为邻边作$□ PAQB$，则线段$PQ$的最小值是 $\frac{24}{5}$.

答案：
15.$\frac{24}{5}$ [解析]本题考查了平行四边形的性质、垂线段最短、三角函数.
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
∴AC=$\sqrt{AB²+BC²}$=$\sqrt{6²+8²}$=10.如图，设AB与PQ 交于点O，过点O作OP₁⊥AC于点P₁，
∴∠AP₁O=90°.
∵四边形PAQB是平行四边形，
∴OA=OB=$\frac{1}{2}$AB=3，OP=OQ=$\frac{1}{2}$PQ，当线段PQ长最小时，线段OP的长最小.当OP⊥AC时，即P与P₁重合时，OP最小.
∵sin∠BAP=$\frac{OP₁}{AO}$=$\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{OP₁}{3}$=$\frac{8}{10}$，解得OP₁=$\frac{12}{5}$，
∴线段PQ的最小值为2OP₁=$\frac{24}{5}$.

知识拓展 平行四边形的性质:平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.

16. (本小题满分 8 分)
(1) 计算：$ | - \frac { 1 } { 3 } | × \sqrt { 9 } + \pi ^ { 0 }$；
(2) 先化简，再求值：$ ( x ^ { 2 } - 1 ) ( \frac { 1 } { x + 1 } + 1 )$，其中$x = 2$.

答案： 16.[解析]本题考查了实数的混合运算、分式化简求值.
(1)根据零指数幂、算术平方根的性质进行计算即可求解；
(2)先根据分式的加减计算括号内的，然后进行乘法化简，最后将字母的值代入求解.
解:
(1)$\vert-\frac{1}{3}\vert$×$\sqrt{9}$+π⁰=$\frac{1}{3}$×3+1=1+1=2.
(2)(x²−1)($\frac{1}{x+1}$+1)
=(x+1)(x−1)·($\frac{1}{x+1}$+$\frac{x+1}{x+1}$)
=(x+1)(x−1)·$\frac{x+2}{x+1}$
=(x+2)(x−1)=x²+x−2.
故当x=2时，原式=2²+2−2=4.