《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

19.(本小题满分 9 分)在平面直角坐标系$xOy$中，已知△OAB 为等边三角形，AB=6，点 C 为 AB 的中点，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过 A，B 两点，且与 OC 交于点 D，$∠BOE=15°$，点 B 的横纵坐标之和为$3\sqrt{6}$.
(1)点 C 的坐标为($\frac{3\sqrt{6}}{2}$,$\frac{3\sqrt{6}}{2}$);(请直接写出结果)
(2)求反比例函数的表达式;
(3)求线段 CD 的长度.

答案：
19.[解析]本题主要考查了待定系数法求函数表达式、全等三角形的判定与性质、反比例函数与一次函数图象的交点、等边三角形的性质、中点坐标公式等知识.
(1)证明△OBM≌△OAN(AAS)，得BM=AN,OM=ON,设B(x,y),则A(y,x),由中点坐标公式求解;
(2)设点B坐标为(x,y),则OB=$\sqrt{x²+y²}$=6.根据x+y=3$\sqrt{6}$,求得xy=9,即可求得k=9;
(3)联立{y=x,
{y=$\frac{9}{x}$求得点D的坐标为(3,3),从而可求得OD的长，由CD=OC−OD求解即可.
解：
(1)($\frac{3\sqrt{6}}{2}$,$\frac{3\sqrt{6}}{2}$)提示：如图，过点B作BM⊥x轴于点M,过点A作AN⊥y轴于点N,

则∠BMO=∠ANO=90°,
∵△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°,OA=OB.
∵∠BOE=15°,
∴∠AON=∠BOE=15°,
∴△OBM≌△OAN(AAS),
∴BM=AN,OM=ON.设A(y,x),则B(x,y),
∵点C为AB的中点，
∴点C($\frac{y+x}{2}$,$\frac{x+y}{2}$).
∵点B的横纵坐标之和为3$\sqrt{6}$，
∴x+y=3$\sqrt{6}$,
∴C($\frac{3\sqrt{6}}{2}$,$\frac{3\sqrt{6}}{2}$).
(2)设点B坐标为(x,y),
则OB=$\sqrt{x²+y²}$=6.根据x+y=3$\sqrt{6}$,求得xy=9,即可求得k=9,
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{9}{x}$.
(3)
∵C($\frac{3\sqrt{6}}{2}$,$\frac{3\sqrt{6}}{2}$),
∴OC=$\sqrt{(\frac{3\sqrt{6}}{2})^{2}+(\frac{3\sqrt{6}}{2})^{2}}$=3$\sqrt{3}$.
∵△OAB为等边三角形，点C为AB的中点，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°,
∴∠COE=∠BOC+∠BOE=45°,
∴OC是第一象限的角平分线，
∴OC所在直线的表达式为y=x.
联立{y=x,
{y=$\frac{9}{x}$
解得{x=3,
{y=3或{x=−3,
{y=−3(舍去).
∴点D的坐标为(3,3),
∴OD=$\sqrt{3²+3²}$=3$\sqrt{2}$,
∴CD=OC−OD=3$\sqrt{3}$−3$\sqrt{2}$,
∴CD的长度为3$\sqrt{3}$−3$\sqrt{2}$.

20.(本小题满分 9 分)在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗.某食品加工厂拥有 A，B 两条不同的粽子生产线，A 生产线每小时加工粽子 400 个，B 生产线每小时加工粽子 500 个.
(1)若生产线 A，B 一共加工 11 小时，且生产粽子总数量不少于 5000 个，则 B 生产线至少加工多少小时?
(2)原计划 A，B 生产线每天均工作 8 小时.由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，A 生产线每小时比原计划多生产 100a 个$(a＞0)$，B 生产线每小时比原计划多生产 100 个.若 A 生产线每天比原计划少工作 2a 小时，B 生产线每天比原计划少工作 a 小时，这样一天恰好生产粽子 6000 个，求 a 值.

答案： 20.[解析]本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用.
(1)设B生产线加工x小时，则A生产线加工(11−x)小时，列不等式求解即可;
(2)根据一天恰好生产了6000个粽子，可列关于a的一元二次方程，解方程即可求出a的值.
解：
(1)设B生产线加工x小时，则A生产线加工(11−x)小时，
根据题意可得500x+400(11−x)≥5000,解得x≥6.
故B生产线至少加工6小时.
(2)由题意可得(400+100a)(8−2a)+(500+100)(8−a)=6000,
整理，得a²+3a−10=0,
解得a₁=2,a₂=−5(不符合题意，舍去).故a的值为2.