《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

21. （本小题满分9分）如图，在$\odot O$中，$\triangle ABC$是$\odot O$的内接三角形，$AC$是$\odot O$的直径，在$\odot O$上取一点$D$，使$AD = BD$，过点$C$的切线$EF$分别与$AB$，$AD$的延长线交于点$E$，$F$。
（1）求证：$AE = EF$；
（2）若$AE = 5$，$\sin \angle ACB = \frac{4}{5}$，求$AF$的长。

答案： 21.[解析]本题考查了与圆的切线有关的证明和计算.
(1)利用圆周角定理、切线的性质证明∠F=∠EAF，最后利用等腰三角形的判定来进行证明；
(2)利用三角函数和勾股定理来进行计算.
(1)证明：
∵AC是⊙O的直径，EF与⊙O相切于点C，
∴EF⊥AC于C，
∴∠ACE=∠ABC=90°，
∴∠E=∠ACB=90°-∠BAC.
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠E=∠ADB，
∴∠F=180°-∠E-∠EAF=180°-∠ADB-∠EAF=∠DBA.
∵AD=BD，
∴∠EAF=∠DBA，
∴∠F=∠EAF，
∴AE=EF.
(2)解：
∵∠ACE=∠ACF=90°，
∴$\frac{AC}{AE}$=sinE=sin∠ACB=$\frac{4}{5}$
∵AE=EF=5，
∴AC=$\frac{4}{5}$AE=$\frac{4}{5}$×5=4，
∴CE=$\sqrt{AE^{2}-AC^{2}}$=$\sqrt{5^{2}-4^{2}}$=3.
∵CF=EF-CE=5-3=2，
∴AF=$\sqrt{CF^{2}+AC^{2}}$=$\sqrt{2^{2}+4^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AF的长是2$\sqrt{5}$.

22. （本小题满分10分）“明湖市集”作为首个“非遗版”春节的重要组成部分，通过非遗展演、民俗体验等特色活动，在大明湖畔绘就了传统与现代交融的节日画卷。某文创商店花费925元购进“泥塑兔子王”和“清照团扇”共80件。其中两种产品的成本价和销售价如下表。
（1）该文创产品店第一次购进泥塑兔子王和清照团扇各多少件。
（2）因市集火爆，全部售完后该文创店第二次购进两种产品共100件。若此次购进泥塑兔子王的数量不超过清照团扇数量的1.5倍，且全部售完。设第二次购进泥塑兔子王$a$件，获利$W$元。则第二次如何进货，才能使获利最大？最大利润是多少？

答案： 22.[解析]本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用.
(1)设出未知数，根据文创商店花费925元购进“泥塑兔子王”和“清照团扇”共80件列出二元一次方程组，解方程组可得实际问题的解；
(2)根据购进泥塑兔子王的数量不超过清照团扇数量的1.5倍，求出a的取值范围，再根据总利润=销售泥塑兔子王和清照团扇的利润之和列出函数表达式，由函数的性质求出最值. 解：
(1)设文创产品店第一次购进泥塑兔子王x件，清照团扇y件，根据题意，得$\begin{cases}x+y=80,\\15x+10y=925,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=25,\\y=55,\end{cases}$
∴该文创产品店第一次购进泥塑兔子王25件，清照团扇55件.
(2)设第二次购进泥塑兔子王a件，则购进清照团扇(100-a)件，根据题意，得a≤1.5(100-a)，解得a≤60，W=(25-15)a+(17.5-10)(100-a)=10a+750-7.5a=2.5a+750.
∵2.5＞0，
∴当a=60时，W有最大值，最大值为900，此时100-60=40(件). 故第二次购进泥塑兔子王60件，购进清照团扇40件才能使获利最大，最大利润为900元.

23. （本小题满分10分）直线$y = \frac{1}{2}x + b$与双曲线$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$交于点$A(2, m)$，交$y$轴于点$B(0, \frac{1}{2})$。
（1）求$k$，$m$的值；
（2）如图（1），点$E$是直线$AB$上点$A$右侧的一个动点，过点$E$作$y$轴的平行线，交反比例函数图象于点$D$，连接$OE$，$OD$。
①当$ED = 2OB$时，求$\triangle OED$的面积；
②如图（2），在①的条件下，将$\triangle ODE$沿射线$BA$方向平移一定距离，得到$\triangle O'D'E'$，若点$O'$恰好落在反比例函数图象上，请直接写出点$D'$的坐标。

答案： 23.[解析]本题考查了一次函数与反比例函数的综合.
(1)利用待定系数法来求函数的表达式及k和m的值；
(2)①根据坐标的特点及反比例函数可求出DE=1，再利用面积公式来进行计算； ②先求出OO'所在的直线表达式，通过解方程组求得点O'的横坐标，根据点O'和点D'，E'的水平移动距离为3可得点E'，D'的横坐标，进而可得点E'的纵坐标，减去1即可求得点D'的纵坐标. 解：
(1)
∵y=$\frac{1}{2}$x+b过点B(0,$\frac{1}{2}$)，
∴b=$\frac{1}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$.
∵y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$过点A(2,m)，
∴m=$\frac{1}{2}$×2+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴A(2,$\frac{3}{2}$).
∵y=$\frac{k}{x}$过点A(2,$\frac{3}{2}$)，
∴k=2×$\frac{3}{2}$=3.
(2)①设点E的坐标为(a,$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$)，则点D的坐标为(a,$\frac{3}{a}$).
∵B(0,$\frac{1}{2}$)，
∴OB=$\frac{1}{2}$.
∵ED=2OB，
∴ED=1，
∴$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{a}$=1，整理，得a^{2}-a-6=0，解得a_{1}=3，a_{2}=-2.
∵点E是直线AB上点A右侧的一个动点，
∴a=3，
∴S_{△OED}=$\frac{1}{2}$×1×3=$\frac{3}{2}$. ②连接OO'，由题意，得OO'//AB，
∴直线OO'的表达式为y=$\frac{1}{2}$x，联立$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x,\\y=\frac{3}{x}\end{cases}$解得x_{1}=$\sqrt{6}$(负值舍去)，
∴点O'的横坐标为$\sqrt{6}$，
∴点D'，E'的横坐标均为$\sqrt{6}$+3，
∴点E'的纵坐标为$\frac{1}{2}$($\sqrt{6}$+3)+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$+2，
∴点D'的纵坐标为$\frac{\sqrt{6}}{2}$+2-1=$\frac{\sqrt{6}}{2}$+1，
∴点D'的坐标为($\sqrt{6}$+3,$\frac{\sqrt{6}}{2}$+1).