《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

23.(本小题满分 13 分)已知点 $O$ 是正方形 $ABCD$ 的中心,点 $P$,$E$ 分别是对角线 $AC$,边 $BC$ 上的动点(均不与端点重合),作射线 $PE$.
(1)将射线 $PE$ 绕点 $P$ 逆时针旋转 $90°$,交边 $CD$ 于点 $F$.
①如图(1),当点 $P$ 与点 $O$ 重合时,求证:$PE=PF$;
②如图(2),当$\frac{AP}{PC}=\frac{1}{2}$时,请判断$\frac{S_{ 四边形PECF}}{S_{ 正方形ABCD}}$是否为定值? 如果是,请求出该定值;如果不是,请说明理由;
(2)如图(3),连接 $BP$,当 $\angle BPE=45°$时,将射线 $PE$ 绕点 $P$ 顺时针旋转 $90°$,交边 $AB$ 于点 $F$. 若$\frac{AP}{PC}=k$,$PE=a$,求四边形 $PEBF$ 的面积(用含 $a$,$k$ 的式子表示).

答案：
23.[解析]本题考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及正方形的性质.
(1)①证明：如图
(1)，过点P作$PG\bot BC$于点G，$PH\bot CD$于点H，则$\angle PGE=\angle PHF=90^{\circ}$.

$\because$四边形ABCD为正方形，
$\therefore \angle BCD=90^{\circ},\angle PCH=45^{\circ}$，
$\therefore$在$ Rt\triangle PCH$中，$\angle CPH=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$，
$\therefore PH=CH,\angle GPF+\angle HPF=90^{\circ}$.
$\because \angle GPF+\angle EPG=90^{\circ}$，
$\therefore \angle FPH=\angle EPG$，
$\therefore \triangle PFH\cong\triangle PEG,\therefore PE=PF$.
②解：$\frac{S_{四边形PECF}}{S_{ 正方形ABCD}}$是定值，为$\frac{4}{9}$.理由如下：如图
(2)，过点P作$PG\bot BC$，$PH\bot CD$.

由题①同理可知，四边形PGCH是正方形，$\therefore \triangle PFH\cong\triangle PEG$，
$\therefore PG=PH,\angle PGC=\angle PHC=\angle BCD=90^{\circ}.\because \triangle PFH\cong\triangle PEG$，
$\therefore S_{\triangle PFH}=S_{\triangle PEG}$，
$\therefore S_{四边形PECF}=S_{\triangle PEG}+S_{四边形PGCF}=S_{\triangle PFH}+S_{四边形PGCF}=S_{ 正方形PGCH}$.
$\therefore \frac{AP}{PC}=\frac{1}{2},\therefore \frac{PC}{AC}=\frac{2}{3}$.
$\because PH// AD,\therefore \triangle CPH\sim\triangle CAD$.
$\because \frac{S_{\triangle PCH}}{S_{\triangle ACD}}=(\frac{2}{3})^{2}=\frac{4}{9}$，
$\therefore \frac{S_{ 四边形PECF}}{S_{ 正方形ABCD}}=\frac{S_{ 正方形PGCH}}{S_{ 正方形ABCD}}$.
$\because \frac{S_{\triangle PCH}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{2S_{\triangle PCH}}{2S_{\triangle ACD}}=\frac{4}{9}· \frac{S_{ 四边形PECF}}{S_{ 正方形ABCD}}$为定值，该定值为$\frac{4}{9}$.
(2)解：如图
(3)，过点P作$PG\bot BC$于点G，$PH\bot AB$于点H，连接EF，

$\therefore \angle PGE=\angle PHF=90^{\circ}.\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore \angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB=\angle CAB=45^{\circ}$.
$\because$射线PE绕点P顺时针旋转$90^{\circ}$，交边AB于点F，$\therefore \angle EPF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle EPG=\angle FPH$，
$\therefore \triangle PFH\sim\triangle PEG$，
$\because \frac{PF}{PE}=\frac{PH}{PG}=k$.
$\because PE=a,\therefore PF=ak$.
$\because \angle BPE=45^{\circ},\angle BCP=45^{\circ}$，
$\therefore \angle BPE=\angle BCP$，
$\because \angle PBE=\angle CBP$，
$\therefore \triangle PBE\sim\triangle CBP$，
$\therefore PB^{2}=BE· BC$.
同理可得，$PB^{2}=BF· BA$.
$\because AB=BC,\therefore BE=BF$，
$\therefore \triangle BEF$是等腰直角三角形.
在$ Rt\triangle PEF$中，$S_{\triangle PEF}=\frac{1}{2}PE· PF=\frac{1}{2}· a· ka=\frac{1}{2}ka^{2}$，
由勾股定理，得$EF^{2}=PE^{2}+PF^{2}=a^{2}+(ka)^{2}=(1+k^{2})a^{2}$，
$\therefore S_{\triangle BEF}=\frac{1}{2}BE· BF=\frac{1}{2}EF·\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}EF^{2}=\frac{1}{4}(1+k^{2})a^{2}$，
$\therefore S_{四边形PEBF}=S_{\triangle PEF}+S_{\triangle BEF}=\frac{1}{2}ka^{2}+\frac{1}{4}(1+k^{2})a^{2}=\frac{(k+1)^{2}}{4}a^{2}$，
故四边形PEBF的面积为$\frac{(k+1)^{2}}{4}a^{2}$.
方法诠释 全等三角形的手拉手模型有一个特点，就是从一个顶点出发，散发出来的四条线段，两两相等，然后夹角相等，就出现了三角形全等.