《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

17. (本小题满分 8 分)在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle ABC = 9 0 ^ { \circ }$，$\angle ACB = 3 0 ^ { \circ }$，$\angle BAC$的平分线$AD$交$BC$于点$D$，如图(1).
(1) 求$\angle ADC$的度数；
(2) 已知$AB = 3$，分别以$C$，$D$为圆心，以大于$\frac { 1 } { 2 } CD$的长为半径作弧，两弧相交于点$M$，$N$，作直线$MN$交$BC$于点$E$，交$AD$的延长线于点$F$，如图(2)，求$DF$的长.

答案： 17.[解析]本题考查了三角形的外角性质、垂直平分线的作法和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质.
(1)由角平分线的定义求得∠DAB=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，再利用三角形的外角性质求解即可；
(2)由作图知，MN是线段CD的垂直平分线，求得DE=CE=$\frac{1}{2}$CD，求得AD=2$\sqrt{3}$，BD=DE，再证明△ADB≌△FDE，据此求解即可.
解:
(1)
∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=∠DAB=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴∠ADC=∠DAB+∠ABC=120°.
(2)由作图知MN是线段CD的垂直平分线，
∴DE=CE=$\frac{1}{2}$CD.
∵∠DAC=∠C=30°，
∴AD=CD.
∵∠ABC=90°，∠DAB=30°，
∴AD=$\frac{AB}{cos30°}$=2$\sqrt{3}$，
∴BD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$CD=DE.
∵∠ADB=∠FDE，∠ABD=∠FED=90°，
∴△ADB≌△FDE(ASA)，
∴DF=AD=2$\sqrt{3}$.

18. (本小题满分 8 分)山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径. 某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型. 已知本次注水前蓄水池的水位高度为 5 米，注水时水位高度每小时上升 6 米.
(1) 请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度$y$(米)与注水时间$x$(小时)之间的关系式；
(2) 已知蓄水池的底面积为 0.4 万平方米，每立方米的水可供发电 0.3 千瓦时，求注水多长时间可供发电 4.2 万千瓦时.

答案： 18.[解析]本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用.
(1)根据蓄水池的水位高度等于注水时水位每小时升高的高度乘注水时间与本次注水前蓄水池的水位高度的和，据此列出函数关系式即可；
(2)根据y与x的函数关系式以及已知条件列关于x的一元一次方程并求解即可.
解:
(1)由题意可得蓄水池的水位高度y(米)与注水时间x(小时)之间的关系式为y=6x+5.
(2)根据题意，得0.4(6x+5)×0.3=4.2，解得x=5.故注水5小时可供发电4.2万千瓦时.

19. (本小题满分 10 分)在 2025 年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的 pH 值进行了检测，并对一天(24 小时)内每小时的 pH 值进行了整理、描述及分析.
[收集数据]
甲基地水体的 pH 值数据：7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26.
乙基地水体的 pH 值数据：7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21.
[整理数据]

[描述数据]

[分析数据]

根据以上信息解决下列问题：
(1) 补全频数分布直方图；
(2) 填空：$b =$ 7.67，$c =$ 7.79；
(3) 请判断甲、乙哪个基地水体的 pH 值更稳定，并说明理由；
(4) 已知两基地对水体 pH 值的日变化量(pH 值最大值与最小值的差)要求为$0.5 \sim 1$，分别判断并说明该日两基地的 pH 值是否符合要求.

答案：
19.[解析]本题考查了频数分布直方图与统计表，中位数，众数及方差.
(1)先求得a的值，即可补全频数分布直方图；
(2)根据众数及中位数的定义求解即可；
(3)根据方差的意义求解即可；
(4)计算pH值最大值与最小值的差即可求解.
解:
(1)根据题意，得a=24−4−2−9−2=7，补全频数分布直方图如图.
乙基地水体pH值数据的
频数分布直方图

(2)7.67 7.79 提示:甲基地水体的pH值数据中，7.67出现了4次，出现次数最多，则b=7.67；乙基地水体的pH值数据中，由小到大排列后中间的两个数为7.77和7.81，则c=$\frac{7.77+7.81}{2}$=7.79.
(3)
∵甲的方差为0.10，乙的方差为0.13，0.10＜0.13，
∴甲基地水体的pH值更稳定.
(4)甲基地水体pH值的日变化量:8.26−7.27=0.99，乙基地水体pH值的日变化量:8.21−7.11=1.1，
∴该日两基地的pH值甲符合要求，乙不符合要求.
知识拓展 中位数的求法:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.