《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

8. 某射击比赛，甲、乙两名运动员成绩如图所示，根据此统计图，下列结论错误的是(A)。

A.甲队员成绩的中位数是8.5环
B.乙队员成绩的众数是8环
C.乙队员的成绩比甲队员的成绩更稳定
D.乙队员成绩的平均数是8环

答案： 8.A [解析]本题考查了折线统计图.
选项 解析 对错
A 甲队员成绩按从小到大排序为5,6,7,8,8,8,9,9,10,10，中位数为8环，选项说法错误 √
B 由统计图，得乙队员成绩8环出现了6次，出现的次数最多，因此这组成绩的众数是8环，选项说法正确 ×
C 由折线统计图，得乙运动员的10次射击成绩的波动性较小，甲运动员的10次射击成绩的波动性较大，所以乙队员的成绩比甲队员的成绩更稳定，选项说法正确 ×
D 乙队员成绩的平均数是$\frac{1}{10}$×(8×6+9×2+7×2)=8(环)，选项说法正确 ×
故选A.
知识拓展 折线统计图：折线图是以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化.折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况.

9. 如图，在菱形$ABCD$中，$\angle A = 45°$，分别以点$A$和$B$为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧相交于点$M$和$N$，作直线$MN$，交$AD$于点$E$，连接$CE$，若$AB = 2$，则$CE$的长为(A)。

A.$\sqrt{6}$
B.$\sqrt{2} + 1$
C.$\sqrt{3} + 1$
D.$2\sqrt{2}$

答案：
9.A [解析]本题考查了与菱形有关的作图和相关的计算. 如图，连接BE，设直线MN交AB于点F.

∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=AB=2，∠ABC=180°-∠A=135°. 由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，∠AFE=90°，AF=$\frac{1}{2}$AB=1.
∵∠A=45°，
∴∠ABE=∠A=45°，AE=$\sqrt{2}$AF=$\sqrt{2}$，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°，BE=$\sqrt{2}$. 在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE=$\sqrt{BC^{2}+BE^{2}}$=$\sqrt{2^{2}+(\sqrt{2})^{2}}$=$\sqrt{6}$. 故选A.

10. 定义：在平面直角坐标系$xOy$中，横坐标与纵坐标相等的点称为“完美点”。设抛物线$L:y = ax^2 + (a + 1)x - 2a(a \neq 0)$与$y$轴相交于点$M$，将抛物线$L$关于$y$轴对称，且向上平移1个单位后得到抛物线$L'$。若抛物线$L$上的完美点也在抛物线$L'$上，则下列结论：①抛物线$L$上的完美点是$(1,1)$或$(-2,-2)$；②$a$的值是$-\frac{1}{2}$或$-\frac{5}{4}$；③存在某条定直线$l$，与抛物线$L'$交于点$A$，使得$AM$平行于$x$轴。其中正确的是（D）。

A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

答案： 10.D [解析]本题考查了二次函数图象与系数的关系. 令y=x，则ax^{2}+(a+1)x-2a=x，整理，得ax^{2}+ax-2a=0，即x^{2}+x-2=0，解得x=-2或x=1，
∴抛物线L上的完美点是(1,1)或(-2,-2)，故①正确； 将抛物线L关于y轴对称，且向上平移1个单位后得到抛物线L'，
∴抛物线L'为y=ax^{2}-(a+1)x-2a+1.
∵抛物线L上的完美点也在抛物线L'上，
∴(1,1)或(-2,-2)也在抛物线L'上，把(1,1)代入y=ax^{2}-(a+1)x-2a+1，得1=a-a-1-2a+1，解得a=-$\frac{1}{2}$. 把(-2,-2)代入y=ax^{2}-(a+1)x-2a+1，得-2=4a+2a+2-2a+1，解得a=-$\frac{5}{4}$，
∴a的值是-$\frac{1}{2}$或-$\frac{5}{4}$，故②正确；
∵抛物线L：y=ax^{2}+(a+1)x-2a(a≠0)与y轴相交于点M，
∴M(0,-2a).
∵抛物线L'上存在点A，使得AM平行于x轴，
∴把y=-2a代入y=ax^{2}-(a+1)x-2a+1，得-2a=ax^{2}-(a+1)x-2a+1，整理，得ax^{2}-(a+1)x+1=0，解得x=1或x=$\frac{1}{a}$，
∴A(1,-2a)或($\frac{1}{a}$,-2a)，
∴存在定直线x=1，与抛物线L'交于点A，使得AM平行于x轴，故③正确. 故选D.

11. 在一个不透明的盒子中装有4个白球，若干个绿球，它们除颜色不同外，其余均相同。若从中随机摸出一个球是绿球的概率为$\frac{3}{4}$，则绿球的个数为12。

答案： 11.12 [解析]本题考查了概率公式的应用. 由题意知，袋中球的总个数为4÷(1-$\frac{3}{4}$)=16，则袋中绿球的个数为16-4=12.

12. 因式分解：$3x^2 - 3 =$3(x-1)(x+1)。

答案： 12.3(x-1)(x+1) [解析]本题考查了多项式的因式分解. 原式$=3(x^{2}-1)=3(x-1)(x+1).$
答题规范 因式分解的一般步骤如下：
(1)用提公因式法分解因式；
(2)用公式法分解因式，其中有平方差公式和完全平方公式；
(3)整理结果的形式，单项式因式一般写在前面，相同因式写成幂的形式，同时要注意分解要彻底.

13. 如图，等边三角形$ABC$是$\odot O$的内接三角形，若$\odot O$的半径为4，则阴影部分的面积为$\frac{16\pi}{3}$-4$\sqrt{3}$。

答案：
13.$\frac{16\pi}{3}$-4$\sqrt{3}$ [解析]本题考查了与圆有关的阴影部分面积的计算. 如图，连接并且延长AO交BC于点D，连接BO，CO，
∵等边三角形ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为4，
∴∠AOB=∠AOC=$\frac{1}{3}$×360°=120°，AO=BO=CO=4，
∴∠BOD=∠COD=180°-120°=60°.
∵BO=CO，OD平分BOC，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°，
∴∠OBD=90°-∠BOD=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$BO=2，
∴BD=$\sqrt{BO^{2}-OD^{2}}$=$\sqrt{4^{2}-2^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_{阴影}=S_{扇形AOB}-S_{△AOB}=$\frac{120\pi×4^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=$\frac{16\pi}{3}$-4$\sqrt{3}$.

14. 虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U型管自动流动的过程。如图(1)，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高15 cm。设甲容器中的液面高为$y_1$(单位：cm)，乙容器中的液面高为$y_2$(单位：cm)，小明绘制了$y_1$，$y_2$关于虹吸时间$x$(单位：s)的函数图象，如图(2)所示。当甲容器中的液面比乙容器中的液面低3 cm时，$x$的值为0.6。

答案： 14.0.6 [解析]本题考查了函数图象的应用. 当x=0时，y_{1}=a，
∵开始时甲容器液面高15cm，
∴a=15. 设y_{1}=kx+b，又当x=1时，y_{1}=0，
∴$\begin{cases}k+b=0,\\b=15,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-15,\\b=15,\end{cases}$
∴y_{1}=-15x+15.
∵甲容器向乙容器倒液体时，y_{1}+y_{2}始终为15，
∴y_{2}=15-y_{1}=15-(-15x+15)=15x，
∴当甲比乙低3cm时，可得y_{1}-y_{2}=-3，
∴(-15x+15)-15x=-3，解得x=0.6.

15. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90°$，$\angle B = 60°$，$BC = 4$，点$M$与点$N$分别在边$AC$与$BC$上，$\angle CNM = 30°$，将$\triangle CMN$沿$MN$翻折得到$\triangle C'MN$，连接$AC'$并将$AC'$绕点$A$逆时针旋转$30°$得到$AE$，连接$CE$，则$CE$的最小值为6-2$\sqrt{3}$。

答案：
15.6-2$\sqrt{3}$ [解析]本题考查了动点问题中的最小值问题. 如图，连接CC'，作CG⊥AB于点G，
∵∠ACB=90°，∠B=60°，BC=4，
∴AC=$\sqrt{3}$BC=4$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，
∴AG=AC·cos∠BAC=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6. 由折叠，得∠MC'N=∠MCN=90°，
∴点C，M，C'，N共圆，若四边形对角和等于180°则该四点共圆
∴∠CC'M=∠CNM=30°. 将△ACC'绕点A逆时针旋转30°至△AFE，FE交AB于点H，作CE'⊥EF于点E'，
∴∠AFE=∠ACC'=30°，AF=AC=4$\sqrt{3}$，
∴当点E在E'处时，CE最小.
∵∠FAH=∠FAC+∠BAC=60°，∠AFE=30°，
∴∠AHF=90°，
∴AH=AF·cos∠FAH=4$\sqrt{3}$·cos60°，四边形GHE'C是矩形，
∴CE'=GH=AG-AH=6-2$\sqrt{3}$. 即CE的最小值为6-2$\sqrt{3}$.