《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

9. 如果$☆× (-\frac{5}{9})=1$,则“☆”表示的数是$-\frac{9}{5}$.

答案： 9.$-\frac{9}{5}$　　[解析]本题主要考查了有理数的乘法，解题的关键是熟练掌握有理数的乘法法则.
$\because(-\frac{9}{5})×(-\frac{5}{9})=\frac{9}{5}×\frac{5}{9}=1$，$\therefore$“☆”表示的数是$-\frac{9}{5}$.

10. 如图,点$A,B,C,D$在$\odot O$上,$OC\perp AB$,$\angle AOC=60°$,则$\sin \angle BDC$的值为$\frac{1}{2}$.

答案：
10.$\frac{1}{2}$　[解析]本题重点考查垂径定理、
圆周角定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键.如图，连接$OB$，

$\because OC\perp AB$，$\therefore\stackrel\frown{BC}=\stackrel\frown{AC}$，
$\therefore\angle BOC=\angle AOC=60^{\circ}$，
$\therefore\angle BDC=\frac{1}{2}\angle BOC=30^{\circ}$，
$\therefore\sin\angle BDC=\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$.

11. 在一次试验中，每个电子元件⟨[电子元件图]或有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等.如图，在一定时间段内，$A，B$之间电流能够正常通过的概率是

答案：
11.$\frac{1}{4}$　[解析]本题考查了画树状图法求概率.画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，正确画出树状图是解题的关键，注意概率=所求情况数与总情况数之比.
画树状图如图.
共有4种等可能的结果，$A$，$B$之间电流能够正常通过的结果有1种，$\therefore A$，$B$之间电流能够正常通过的概率为$\frac{1}{4}$.
知识拓展　列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合两步完成的事件;画树状图法适合两步或两步以上完成的事件.解题时要注意本题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为概率=所求情况数与总情况数之比.

12. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$A,B$分别在$x$轴和$y$轴上,$C$为$AB$的中点,反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$C$.若点$B$的坐标为$(0,6)$,$OC=5$,则$k=$12.

答案： 12.12　[解析]本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键.$\because C$为$AB$的中点，且$OC=5$，
$\therefore AB=2OC=10$.
$\because$点$B$的坐标为$(0,6)$，$\therefore OB=6$.
在$ Rt\triangle AOB$中，$OA=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$，
$\therefore$点$A$的坐标为$(8,0)$，
$\therefore$点$C$的坐标为$(4,3)$.
点$C$为$AB$的中点，此处可以利用中点坐标公式快速求解
将点$C$的坐标代入$y=\frac{k}{x}$，
得$k=4×3=12$.

13. 如图,$\triangle ABC$的两个外角的平分线$AD,CE$相交于点$O$.若点$O$到$BC$的距离为 3.5,$AB=4$,则$\triangle ABO$的面积为7.

答案：
13.7　[解析]本题重点考查角平分线的性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键.
如图，作$OP\perp BA$交$BA$的延长线于点$P$，$OQ\perp BC$交$BC$的延长线于点$Q$，$OR\perp AC$于点$R$.

$\because\triangle ABC$的两个外角的平分线$AD$，$CE$相交于点$O$，
$\therefore OP=OR$，$OQ=OR$，$\therefore OP=OQ$.
$\because$点$O$到$BC$的距离为$3.5$，
$\therefore OP=OQ=3.5$.$\because AB=4$，
$\therefore S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}AB· OP=\frac{1}{2}×4×3.5=7$.

14. 据说,我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中,看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题:一个数是 39319，希望求它的立方根.华罗庚脱口而出:39.邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙.华罗庚解释如下：
①由$10^{3}=1000$,$100^{3}=1000000$,$1000＜59319＜1000000$,可得$10＜\sqrt[3]{59319}＜100$,由此确定$\sqrt[3]{59319}$是两位数;
②59319的个位上的数是9，因为只有$9^{3}$的个位上的数是9，所以$\sqrt[3]{59319}$的个位上的数是9;
③如果划去59319后面的三位数319得到59，而$3^{3}=27$，$4^{3}=64$，又$27＜59＜64$，由此确定$\sqrt[3]{59319}$的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39.
已知$373248$是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定$373248$的立方根是72.

答案： 14.72　[解析]本题主要考查立方根，正确理解材料是解题的关键.
①由$10^{3}=1000$，$100^{3}=1000000$，$1000＜373248＜1000000$，可得$10＜\sqrt[3]{373248}＜100$，由此确定$\sqrt[3]{373248}$是两位数;
②$373248$的个位上的数是$8$，
$\because$只有$2^{3}$的个位上的数是$8$，
$\therefore\sqrt[3]{373248}$的个位上的数是$2$;③如果划去$373248$后面的三位数$248$ 得到$373$，而$7^{3}=343$，$8^{3}=512$，
$343＜373＜512$，由此确定$\sqrt[3]{373248}$的十位上的数是$7$，从而得$373248$的立方根是$72$.

15. 两个非零实数$m，n$满足$m^{2}+\sqrt{3}n=5$，$n^{2}+\sqrt{3}m=5$，且$m\neq n$，则$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}=$$-\frac{7}{2}$.

答案： 15.$-\frac{7}{2}$　[解析]本题主要考查了代数式的和差及完全平方公式，确定$m+n$和$m^{2}+n^{2}$的值是解题的关键.
两式相减可得，$m^{2}+\sqrt{3}n-n^{2}-\sqrt{3}m=0$，
$\therefore(m+n)(m-n)-\sqrt{3}(m-n)=0$，
$\therefore(m-n)(m+n-\sqrt{3})=0$.
$\because m\neq n$，$\therefore m+n=\sqrt{3}$.
两式相加，可得$m^{2}+\sqrt{3}n+n^{2}+\sqrt{3}m=10$，
$\therefore m^{2}+n^{2}+\sqrt{3}(m+n)=10$，
$\therefore m^{2}+n^{2}=7$.
$\because(m+n)^{2}=m^{2}+2mn+n^{2}$，
$\therefore$将$m+n=\sqrt{3}$，$m^{2}+n^{2}=7$代入上式可以求得$mn=-2$，
$\therefore\frac{m}{n}+\frac{n}{m}=\frac{m^{2}+n^{2}}{mn}=\frac{7}{-2}=-\frac{7}{2}$.

16. 如图,每个小正方形的边长都为 1,点$A,B,C$均在格点上.
(1)只用无刻度的直尺在$AC$上找一点$D$，使得$BD$最短;(保留作图痕迹)
(2)在(1)的基础上,在边$BC$上找一点$M$，使得$MA+MD$最小，最小值为$\frac{\sqrt{82}}{2}$.

答案：
16.[解析]本题主要考查作图—复杂作图、等腰三角形的性质、轴对称及最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键.
解：
(1)画图如图
(1)所示.

(2)$\frac{\sqrt{82}}{2}$ 提示：如图
(2)，找出点$A$关于直线$BC$的对称点$A^{\prime}$，连接$A^{\prime}D$，交$BC$于点$M$，连接$MA$，此时，$MA+MD=MA^{\prime}+MD=A^{\prime}D$为最小值.

$\because A^{\prime}D=\sqrt{4.5^{2}+0.5^{2}}=\frac{\sqrt{82}}{2}$
$\therefore MA+MD$的最小值为$\frac{\sqrt{82}}{2}$.