《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

20. (本小题满分12分)图(1)是某摩天轮的实景图. 摩天轮可视作半径为50米的$\odot O$，其上的某个座舱可视作$\odot O$上的点$A$，座舱距离地面的最低高度$BC$为10米，地面$l$上的观察点$D$到点$C$的距离$DC$为80米，平面示意图如图(2)所示.
(1)当视线$DA$与$\odot O$相切时，求点$A$处的座舱到地面的距离；
(2)已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟，当座舱距离地面不低于85米时，在座舱中观赏风景的体验最佳. 点$A$处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长. (以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：$\tan 36.87° \approx \frac{3}{4}$，$\sin 66.87° \approx 0.92, \cos 66.87° \approx 0.39, \sqrt{3} \approx 1.73, \pi \approx 3.14$)

答案：
20.[解析]本题考查了切线的性质、解直角三角形的应用、勾股定理以及弧长公式.
解：
(1)如图
(1)，连接OA，OD，作$AE\perp l$于点E，

根据题意可知，$OC=OB+BC=50+10=60$(米)，
在$\triangle ODC$中，$DC=80$米，$OC\perp DC$，
∴$OD=\sqrt{DC^{2}+OC^{2}}=\sqrt{80^{2}+60^{2}}=100$(米).
∵$\tan\angle ODC=\frac{OC}{CD}=\frac{60}{80}=\frac{3}{4}$，
∴$\angle ODC\approx36.87^{\circ}$.
∵DA与⊙O相切，
∴$OA\perp AD$，
∴$\angle OAD=90^{\circ}$.
∵$OA=50$米，
∴$\sin\angle ODA=\frac{OA}{OD}=\frac{1}{2}$，
∴$\angle ODA=30^{\circ}$，$AD=OD·\cos30^{\circ}=100×\frac{\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}$(米)，$\angle ADE=\angle ODA+\angle ODC=30^{\circ}+36.87^{\circ}=66.87^{\circ}$.
在$Rt\triangle ADE$中，
$AE=AD·\sin\angle ADE=50\sqrt{3}×\sin66.87^{\circ}\approx50\sqrt{3}×0.92\approx79.6$(米).
故点A处的座舱到地面的距离约为79.6米.
(2)如图
(2)，过点A作$AF// l$，交⊙O于点F.延长CO，交AF于点H，连接OF.

不妨设$CH=85$米.
∵$OC\perp l$，
∴$OH\perp AF$，
∴$OH=CH-OB-BC=85-50-10=25$(米).
∵$OA=50$米，
∴$\cos\angle AOH=\frac{OH}{OA}=\frac{1}{2}$，
∴$\angle AOH=60^{\circ}$.
∵$OH\perp AF$，
∴$\angle AOF=120^{\circ}$，
∴最佳观赏风景的时间为$\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}×30=10$(分钟)，
∴$AF=\frac{120\pi×50}{180}\approx104.7$(米).
故座舱经过的圆弧的长约为104.7米.
知识拓展 垂径定理应用中常作的辅助线：
(1)若已知圆心和弦，则连接圆心和弦的一个端点，即“连半径”，并作垂直于弦的直径，构造直角三角形；
(2)若已知圆心和弦(弧)的中点，则连接圆心和弦(弧)的中点，并延长使其与圆相交，得圆的直径，再“连半径”，构造直角三角形.

21. (本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数$y=ax^{2}+bx(a＜0)$与正比例函数$y=kx$的图象都经过点$A(3,3)$，点$P$为二次函数图象上点$O$与点$A$之间的一点，过点$P$作$x$轴的垂线，交$OA$于点$C$，交$x$轴于点$D$.

(1)若点$A$为该二次函数的顶点，
①求二次函数的表达式；
②求线段$PC$长度的最大值.
(2)若该二次函数与$x$轴的一个交点为$B(m,0)$，且$m＞4$，求$a$的取值范围.

答案： 21.[解析]本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、二次函数的最值.
解：
(1)①
∵A(3,3)为二次函数的顶点，
$\begin{cases}9a+3b=3,\frac{4ac-b^{2}}{4a}=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{3},\\b=2,\end{cases}$
∴该二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{3}x^{2}+2x$.
②
∵正比例函数$y=kx$经过点A(3,3)，
∴$3k=3$，
∴$k=1$，
∴正比例函数的表达式为$y=x$.
设$OD=t(0\leq t\leq3)$，则$CD=t$，
$PD=-\frac{1}{3}t^{2}+2t$，
∴$PC=PD-CD=-\frac{1}{3}t^{2}+2t-t=-\frac{1}{3}t^{2}+t=-\frac{1}{3}(t-\frac{3}{2})^{2}+\frac{3}{4}$.
故当$t=\frac{3}{2}$时，线段PC的长度取得最大值$\frac{3}{4}$.
(2)
∵二次函数$y=ax^{2}+bx$经过点A(3,3)，
∴$9a+3b=3$，即$b=1-3a$，
令$ax^{2}+bx=0$，
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=-\frac{b}{a}$.
∵二次函数与x轴的一个交点为$B(m,0)$，$m＞4$，
∴$m=-\frac{b}{a}$，
∴$-\frac{b}{a}＞4$.
∵$a＜0$，
∴$b＞-4a$，
∴$1-3a＞-4a$，解得$a＞-1$.
故a的取值范围是$-1＜a＜0$.
注意不要遗漏$a＜0$