《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

9. 将二次函数$y=x^{2}-2x-3$的图象在$x$轴下方的部分以$x$轴为对称轴翻折到$x$轴上方,得到如图所示的新函数图象,下列对新函数的描述正确的是(C).


A.图象与$y$轴的交点坐标是$(0,-3)$
B.当$x=1$时,函数取得最大值
C.图象与$x$轴两个交点之间的距离为 4
D.当$x＞1$时,$y$的值随$x$值的增大而增大

答案： 9.C　[解析]本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换、二次函数的最值.
由题意可知,二次函数为y=x²-2x−3,
∴当x=0时,y=−3,
∴其图象与y轴交于(0，−3).
又图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，
∴新函数图象与y轴的交点为(0,3).
故A选项错误.
结合函数图象可以发现，函数没有最大值.故B选项错误.
令y=x²−2x−3=0,
得x=3或x=−1,
∴函数图象与x轴交点坐标为(−1,0),(3,0),
∴图象与x轴两个交点之间的距离为3−(−1)=4.故C选项正确.
由题意可知，原函数为y=x²−2x−3=(x−1)²−4,
∴新函数为y=−(x−1)²+4(−1≤x≤3),
∴函数的对称轴为直线x=1.
∴结合函数图象可知，当1＜x＜3时，y随x的增大而减小;当x＞3时，y随x的增大而增大.故D选项错误.
综上所述，故选C.

10. 因式分解:$3x^{2}-3y^{2}=$3(x+y)(x−y).

答案： 10.3(x+y)(x−y)　[解析]本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解.
3x²−3y²=3(x²−y²)=3(x+y)(x−y).
名师点评　把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，因式分解的步骤是先提公因式，再用公式法，最后检查结果可以简化为六个字“一提二套三查”,结果要求为积的形式，分解到不能再分解为止,以上是因式分解的定义和结果要求，注重六个字的运用，否则容易分解不到底

11. 为弘扬传统文化,培养学生的劳动意

识

,某校在端午节期

间

举

行了包粽子活动,每个粽子的标准质量为 100g.甲、乙两名同学各包了 5 个粽子,每个粽子的质量(单位:g)如下:甲:103,99,100,101,97;乙:99,103,105,95,98.甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是甲(填“甲”或“乙”).

答案： 11.甲　[解析]本题考查了用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差.
甲的平均数为(103+99+100+101+97)÷5=100,
甲的方差为$\frac{1}{5}$×[(103−100)²+(99−100)²+(100−100)²+(101−100)²+(97−100)²]=4;
乙的平均数为(99+103+105+95+98)÷5=100,
乙的方差为$\frac{1}{5}$×[(99−100)²+(103−100)²+(105−100)²+(95−100)²+(98−100)²]=12.8.
∵4＜12.8,
∴甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是甲.
归纳总结　平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数;
一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大(或按从大到小)的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数;当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数;当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数.平均数、中位数、众数描述了数据的集中趋势，方差反应了数据的离散程度，用来衡量一组数据的稳定性.当一组数据中个别数据与其他数据大小差异很大时，用中位数来描述，当一组数据有较多重复数据时用众数来描述.方差s²=$\frac{1}{n}$[(x₁−$\bar{x}$)²+(x₂−$\bar{x}$)²+...+(xₙ−$\bar{x}$)²].

12. 实数$a,b$在数轴上对应点的位置如图所示,则$|a|$＜$|b|$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”).

答案： 12.＜　[解析]本题考查了实数的大小比较
观察数轴可知,b＜−1,0＜a＜1,
∴|a｜＜|b｜.

13. 如图,正八边形$ABCDEFGH$的顶点$A,B,G,H$在坐标轴上,顶点$C,D,E,F$在第一象限,点$F$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上.若$AB=\sqrt{2}$,则$k$的值为2+$\sqrt{2}$.

答案：
13.2+$\sqrt{2}$　[解析]本题考查了正八边形的性质、等腰直角三角形的性质、待定系数法求反比例函数表达式.
如图，过点F作FK⊥y轴于点K，
∵在正八边形ABCDEFGH中，内角的度数为$\frac{(8−2)×180°}{8}$=135°,
∴∠BAH=135°,
∴∠OAH=45°,此处也可利用多边形的外角和为360°求外角的度数，即
360°÷8=45°
∴△OAH是等腰直角三角形.
同理，可得△FKG是等腰直角三角形.
∵AH=AB=FG=$\sqrt{2}$,
∴OA=OH=KG=KF=1,
∴F(1,2+$\sqrt{2}$).
∵点F在反比例函数y=$\frac{k}{x}$(x＞0)
的图象上，
∴k=1×(2+$\sqrt{2}$)=2+$\sqrt{2}$.

14. 如图,在扇形$AOB$中,$\angle AOB=30^{\circ}$,$OA=2\sqrt{3}$,点$C$在$OB$上,且$OC=AC$.延长$CB$到$D$,使$CD=CA$.以$CA,CD$为邻边作平行四边形$ACDE$,则图中阴影部分的面积为3$\sqrt{3}$−π(结果保留$\pi$).

答案：
14.3$\sqrt{3}$−π　[解析]本题考查了扇形面积的计算、平行四边形的性质以及圆周角定理.
如图，过点A作AH⊥OD于点H，
∵∠AOB=30°,OA=2$\sqrt{3}$,
∴AH=$\frac{1}{2}$OA=$\sqrt{3}$.
∵OC=AC,
∴∠OAC=∠AOB=30°,
∴∠ACB=30°+30°=60°,
∴∠CAH=30°,
∴AC=2CH.
设CH=x,则AC=2x.
在Rt△ACH中，由勾股定理，
得x²+($\sqrt{3}$)²=(2x)²,
解得x=1(负值舍去),
即CH=1,AC=2,
∴CD=CA=OC=2,
S阴影部分=S△AOC+S△ACD−S扇形OAB =$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$+2×$\sqrt{3}$−$\frac{30π×(2\sqrt{3})^{2}}{360}$
=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$−π
=3$\sqrt{3}$−π.

15. 如图,在正方形$ABCD$中,$E,F$分别为$CD,AD$的中点.连接$BF$并延长交$AE$于点$G$,交$CD$的延长线于点$M,H$为$BE$的中点,连接$GH,CH,CG$.下列结论:①$CH// AE$;②$\angle M=30^{\circ}$;③$S_{\triangle CGH}=\frac{3}{20}S_{ 正方形ABCD}$;④$AG· MF=CD· AF$.正确的是①④(填写序号).

答案： 15.①④　[解析]本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC,∠ADE=∠BCE=90°.
∵E为CD的中点，
∴DE=CE,
∴△ADE≌△BCE(SAS),
∴∠AED=∠BEC.
∵H为BE的中点，
∴HC=HE=$\frac{1}{2}$BE,
∴∠HCE=∠BEC,
∴∠HCE=∠AED,
∴CH//AE.故①正确.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD,即AB//DM,
∴∠M=∠ABF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB,∠BAF=90°.
∵F为AD的中点，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB,
∴tanM=tan∠ABF=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{1}{2}$,
∴∠M≠30°.故②错误.
∵CH//AE,
∴S△CGH=S△CEH.
设正方形ABCD的边长为2a，
∴S正方形ABCD=(2a)²=4a²,S△CEH=$\frac{1}{2}$S△BCE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×2a×a=$\frac{1}{2}$a²,
∴S△CGH=$\frac{1}{8}$S正方形ABCD≠$\frac{3}{20}$S正方形ABCD 故③错误
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB,∠ADE=∠BAF=90°.
∵E,F分别为CD,AD的中点，
∴DE=AF,
∴△ADE≌△BAF(SAS),
∴∠EAD=∠FBA.
∵∠M=∠FBA,
∴∠M=∠EAD.
∵AB//DM,
∴△ABF∽△DMF,
∴$\frac{AB}{DM}$=$\frac{AF}{DF}$.
∵F为AD的中点，
∴$\frac{AB}{DM}$=$\frac{AF}{DF}$=1,
∴DM=AB=CD.
∵∠AFG=∠MFD,∠M=∠EAD,
∴△AFG∽△MFD,
∴$\frac{AG}{MD}$=$\frac{AF}{MF}$.
∵DM=CD,
∴$\frac{AG}{CD}$=$\frac{AF}{MF}$,
∴AG·MF=CD·AF.故④正确.
综上所述，正确的是①④.

16. 已知:如图,D 是$\angle AOB$内部一点.求作:等腰三角形$COE$,使点$C,E$分别在射线$OA,OB$上,且底边$CE$经过点$D$.

答案：
16.[解析]本题考查作图−复杂作图、等腰三角形的判定和性质.
解:如图，△COE即为所求.