《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

21.(本小题满分 10 分)臂架泵车是一种用于建筑工程中混凝土输送和浇筑的特种工程车辆，集混凝土泵送、臂架伸展和移动功能于一体，广泛应用于高层建筑、桥梁、隧道等施工场景.如图是其输送原理平面图，进料口 A 到建筑楼的水平距离为 24 米，到地面的垂直距离为 2 米，AB，BC，CD，DE 为输送臂，可绕 A，B，C，D 旋转，已知输送臂 AB 垂直地面且 AB=14 米，BC=CD=13 米，DE=7 米，$∠BCD=134.8°$，$∠CDE=112.6°$.
(1)BD 长约为24;(直接写出答案)
(2)求出料口到地面的距离.
(参考数据:$\sin67.4°≈\frac{12}{13}$，$\cos67.4°≈\frac{5}{13}$，$\sin56.3°≈\frac{41}{50}$，$\cos56.3°≈\frac{11}{20}$)

答案：
21.[解析]本题主要考查了解直角三角形、勾股定理.
(1)过点C作CM⊥BD于点M,求出BM=12米，则BD=2BM=24米;
(2)过点B作BP⊥EP,垂足为P,求出BE=25米，可证Rt△EDB≌Rt△EPB,可得进料口到地面的距离为EP+16=7+16=23(米).
解：
(1)24提示：如图
(1)，过点C作CM⊥BD于点M.

∵∠BCD=134.8°,CB=CD,
∴∠BCM=$\frac{1}{2}$×134.8°=67.4°,
BM=DM,
∴BM=BC·sin∠BCM=BC×sin67.4°≈13×$\frac{12}{13}$=12(米),
∴BD=2BM=24(米).
(2)如图
(2),过点B作BP⊥EP,垂足为P.易证∠BDE=90°.
在Rt△BDE中,
∵DE=7米,
∴BE=$\sqrt{BD²+DE²}$=$\sqrt{24²+7²}$=25(米).
∵BP=24米,
∴BP=BD.
在Rt△EDB和Rt△EPB中，
{BE=BE,
{BP=BD,
∴Rt△EDB≌Rt△EPB(HL),
∴DE=PE=7米,
∴点E到地面的距离为EP+16=7+16=23(米).
故E到地面的距离为23米.
归纳总结 解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决.

22.(本小题满分 10 分)如图，AB 为⊙O 的直径，C，G 为圆上两点，$CE//AG$，且与 GB 的延长线交于点 E，$CD⊥AB$，垂足为 F，CB 平分$∠DCE$.
(1)求证:CE 为⊙O 的切线;
(2)若$\tan∠CAB=\frac{1}{2}$，求$\frac{AG}{GB}$的值.

答案：
22.[解析]本题主要考查了圆的切线的判定、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理以及等腰三角形的判定.
(1)连接OC,由CD⊥AB,得出∠CFB=90°,得出∠FCB+∠CBF=90°,再由CB平分∠DCE,可得∠FCB=∠ECB,证明OC⊥CE,即得证;
(2)证明∠CAB=∠BCF,可得tan∠CAB=tan∠BCF=$\frac{1}{2}$,得出$\frac{CF}{AF}$=$\frac{FB}{CF}$=$\frac{1}{2}$.设CF为2a,则CE=CF=2a,AF=4a,FB=a,AB=5a,由勾股定理，得BG=3a,再求解即可.
解：
(1)如图，连接OC.

∵CD⊥AB,
∴∠CFB=90°,
∴∠FCB+∠CBF=90°.
∵CB平分∠DCE,
∴∠FCB=∠ECB.
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∴∠OCB+∠ECB=90°,
∴OC⊥CE,
∴CE为⊙O的切线.
(2)
∵C,G为⊙O上的两点，又AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠CFB=90°,
∴∠CAB+∠ABC=∠BCF+∠ABC,
∴∠CAB=∠BCF,
∴tan∠CAB=tan∠BCF=$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{CF}{AF}$=$\frac{FB}{CF}$=$\frac{1}{2}$.设CF为2a,则CE=CF=2a,AF=4a,FB=a,
∴AB=5a.
∵∠G=∠E=∠OCE=90°,
∴四边形CEGH为矩形.
∵CH⊥AG,
∴AH=HG,
∴CE=HG=AH,
∴AG=4a.
在Rt△AGB中，
∵AG=4a,AB=5a,
∴BG=$\sqrt{AB²−AG²}$=3a,
∴$\frac{AG}{GB}$=$\frac{4}{3}$.
归纳总结 切线判定常用的证明方法:①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直;②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.