《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

24. (本小题满分 14 分)如图，抛物线$y=ax^{2}+bx+3$与 $x$ 轴交于 $A$，$B$ 两点(点 $A$ 在点 $B$ 左侧)，与 $y$ 轴交于点 $C$，$OA=2$，$OB=6$，$D$ 是直线 $BC$ 上方抛物线上一动点，作$DF \perp AB$交 $BC$ 于点 $E$，垂足为 $F$，连接 $CD$.
(1)求抛物线的表达式.
(2)设点 $D$ 的横坐标为 $t$，
①用含有 $t$ 的代数式表示线段 $DE$ 的长度.
②是否存在点 $D$，使$\triangle CDE$是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)连接 $OE$，将线段 $OE$ 绕点 $O$ 按顺时针方向旋转$90^{\circ}$得到线段 $OG$，连接 $AG$，请直接写出线段 $AG$长度的最小值.

答案：
24.[解析]本题考查了二次函数的综合问题,涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、等腰三角形的存在性问题、两点间距离公式、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点. 解:
(1)$\because$抛物线$y = ax^2 + bx + 3$与$x$轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与$y$轴交于点C,$OA = 2$,$OB = 6$,$\therefore A(-2,0)$,$B(6,0)$, $\therefore \begin{cases}4a - 2b + 3 = 0 \\36a + 6b + 3 = 0 \end{cases}$, 解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{4} \\b = 1 \end{cases}$, $\therefore$抛物线的表达式为$y = -\frac{1}{4}x^2 + x + 3$.
(2)①已知抛物线的表达式为$y = -\frac{1}{4}x^2 + x + 3$, 当$x = 0$时,$y = 3$, $\therefore C(0,3)$. 设直线BC表达式为$y = kx + b$, 则$\begin{cases}6k + b = 0 \\b = 3 \end{cases}$解得$\begin{cases}k = -\frac{1}{2} \\b = 3 \end{cases}$, $\therefore$直线BC表达式为$y = -\frac{1}{2}x + 3$. $\because DE \perp AB$, $\therefore D(t,-\frac{1}{4}t^2 + t + 3)$,$E(t,-\frac{1}{2}t + 3)$, $\therefore DE = -\frac{1}{4}t^2 + t + 3 - (-\frac{1}{2}t + 3) = -\frac{1}{4}t^2 + \frac{3}{2}t$, $\therefore DE = -\frac{1}{4}t^2 + \frac{3}{2}t(0 ＜ t ＜ 6)$. ②存在.由题意,得 $CD = \sqrt{t^2 + (-\frac{1}{4}t^2 + t)^2}$,$CE = \sqrt{t^2 + (-\frac{1}{2}t)^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}t$. 当$DE = CE$时,$-\frac{1}{4}t^2 + \frac{3}{2}t = \frac{\sqrt{5}}{2}t$, 解得$t = 6 - 2\sqrt{5}$或$t = 0$(舍), $\therefore D(6 - 2\sqrt{5},4\sqrt{5} - 5)$; 当$CD = DE$时,$t^2 + (-\frac{1}{4}t^2 + t)^2 = (-\frac{1}{4}t^2 + \frac{3}{2}t)^2$, 整理,得$t^2(-t + 1) = 0$, 解得$t = 1$或$t = 0$(舍), $\therefore D(1,\frac{15}{4})$; 当$CD = CE$时,$t^2 + (-\frac{1}{4}t^2 + t)^2 = (\frac{\sqrt{5}}{2}t)^2$, 整理,得$t^2(\frac{1}{16}t^2 - \frac{1}{2}t + \frac{3}{4}) = 0$, 解得$t = 2$或$t = 6$(舍)或$t = 0$(舍), $\therefore D(2,4)$. 综上所述,若$\triangle CDE$是等腰三角形,点D坐标为$(2,4)$或$(1,\frac{15}{4})$或$(6 - 2\sqrt{5},4\sqrt{5} - 5)$.
(3)如图,在$y$轴负半轴取点$N(0,-6)$,连接$NG$并延长交$x$轴于点$M$,连接$AN$. 由旋转,得$OE = OG$,$\angle EOG = 90°$. $\because B(6,0)$, $\therefore OB = ON$,$\angle BON = 90°$, $\therefore \angle EOM = \angle GON = 90° - \angle MOG$, $\therefore \triangle BOE \cong \triangle NOG$(SAS), $\therefore \angle CBO = \angle MNO$, $\therefore$点G在线段MN上运动(不包括端点), $\therefore$当$AG \perp MN$时,$AG$最小. $\because \angle CBO = \angle MNO$,$OB = ON$, $\angle COB = \angle MON$, $\therefore \triangle COB \cong \triangle MON$(ASA), $\therefore OM = OC = 3$, $\therefore MN = \sqrt{OM^2 + ON^2} = 3\sqrt{5}$, $\therefore$当$AG \perp MN$时,$S_{\triangle AMN} = \frac{1}{2}AM · ON = \frac{1}{2} × MN · AG$, $\therefore \frac{1}{2} × 5 × 6 = \frac{1}{2} × 3\sqrt{5} × AG$, 解得$AG = 2\sqrt{5}$, $\therefore$线段$AG$长度的最小值为$2\sqrt{5}$.