《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

24. (本小题满分 10 分)小磊和小明练习打网球.在一次击球过程中,小磊从点$O$正上方 1.8 米的$A$点将球击出.
信息一:在如图所示的平面直角坐标系中,$O$为原点,$OA$在$y$轴上,球的运动路线可以看作是二次函数$y=ax^{2}+bx+1.8(a,b$为常数)图象的一部分,其中$y$(米)是球的高度,$x$(米)是球和原点的水平距离,图象经过点$(2,3.2),(4,4.2)$.
信息二:球和原点的水平距离$x$(米)与时间$t$(秒)$(0\leq t\leq1.6)$之间近似满足一次函数关系,部分数据如下:

(1)求$y$与$x$的函数关系式.
(2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度?最大高度是多少?
(3)当$t$为 1.6 秒时,小明将球击回,球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数$y=-0.02x^{2}+px+m(p,m$为常数)图象的一部分,其中$y$(米)是球的高度,$x$(米)是球和原点的水平距离.当网球所在点的横坐标$x$为 2,纵坐标$y\geq1.8$时,$p$的取值范围为p≤0.36(直接写出结果).

答案： 24.[解析]本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键.
解:
(1)由题意，得二次函数y=ax²+bx+1.8经过点(2,3.2)和(4,4.2),
∴$\begin{cases}4a+2b+1.8=3.2,\\16a+4b+1.8=4.2,\end{cases}$解得a=−0.05,b=0.8.
故二次函数为y=−0.05x²+0.8x+1.8.
(2)由题
(1),得二次函数为y=−0.05x²+0.8x+1.8,
∴其对称轴为直线x=−$\frac{b}{2a}$=−$\frac{0.8}{2×(−0.05)}$=8,
∴此时最大高度为y=−0.05×8²+0.8×8+1.8=5.
又根据信息二，知x与t是一次函数关系，
∴可设x=kt+c.
又结合表格数据可得图象过(0,0)和(0.4,4),
∴c=0,且0.4k+c=4.
∴k=10,c=0,
∴一次函数为x=10t，
∴当x=8时,t=0.8.
故经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米.
(3)p≤0.36　提示:由题意，得当t=1.6时,x=10×1.6=16,
将x=16代入原抛物线，得y=−0.05×16²+0.8×16+1.8=1.8,
即此时球的坐标为(16，1.8).
又新抛物线y=−0.02x²+px+m 过点(16,1.8),
得m=1.8+0.02×16²−16p=6.92−16p,
故抛物线为y=−0.02x²+px+6.92−16p.
又当x=2时,y≥1.8,
∴−0.02×2²+2p+6.92−16p≥1.8.解得p≤0.36.

25. (本小题满分 10 分)如图(1),在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=6cm$,$BC=8cm$,将$Rt\triangle ABC$沿$AC$方向平移 6 cm,得到$Rt\triangle CDE$,过点$D$作$DF\perp AB$,交$AB$的延长线于点$F,H$为$DE$的中点.点$P$从点$D$出发,沿$DC$方向匀速运动,速度为 1cm/s;同时,点$Q$从点$A$出发,沿$AE$方向匀速运动,速度为 1.2cm/s.连接$PQ,QH,PH$.设运动时间为$t(s)(0＜t＜10)$.解答下列问题:
(1)当$HP// DF$时,求$t$的值.
(2)如图(2),当$5＜t＜10$时,设$\triangle PQH$的面积为$S(cm^{2})$,求$S$与$t$之间的函数关系式.
(3)当$0＜t＜5$时,是否存在某一时刻$t$,使$\triangle PQH$是直角三角形?若存在,求出$t$的值;若不存在,请说明理由.

答案：
25.[解析]本题是三角形的综合题，考查了平移的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、公式法解一元二次方程，正确构造辅助线，分类讨论是解题的关键.
解:
(1)由题意,得PD=t,AQ=$\frac{6}{5}$t,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,
∴AB=$\sqrt{6²+8²}$=10(cm),
由平移的性质,得∠E=90°,CE=6cm,CD=10cm,AB//CD.
∵H为DE的中点，
∴EH=DH=$\frac{1}{2}$DE=4cm.
∵AB//CD,DF⊥AB,
∴DF⊥CD,即∠FDC=90°.
∵HP//DF,
∴∠HPD=∠FDC=90°,
即$\frac{t}{4}$=$\frac{8}{10}$,解得t=$\frac{16}{5}$.
(2)由题意知，当5＜t＜10时，点Q 在线段CE上,如图
(1),作QM⊥CD 于点M,作HN⊥CD于点N,

∵PD=t,AQ=$\frac{6}{5}$t,
∴CQ=$\frac{6}{5}$t−6,CP=10−t.
∵∠CMQ=∠E=90°,sin∠QCM=$\frac{QM}{CQ}$=$\frac{DE}{CD}$,
即$\frac{QM}{\frac{6}{5}t−6}$=$\frac{8}{10}$,
∴QM=$\frac{24}{25}$t−$\frac{24}{5}$.
同理,可得sin∠HDN=$\frac{HN}{DH}$=$\frac{CE}{CD}$,即$\frac{HN}{4}$=$\frac{6}{10}$，
∴HN=$\frac{12}{5}$.
∵AQ=$\frac{6}{5}$t,
∴EQ=12−$\frac{6}{5}$t,
∴S△PQH=S△CDE−S△PQC−S△PDH−S△EQH=$\frac{1}{2}$×6×8−$\frac{1}{2}$(10−t)($\frac{24}{25}$t−$\frac{24}{5}$)−$\frac{1}{2}$×t×$\frac{12}{5}$−$\frac{1}{2}$×4(12−$\frac{6}{5}$t)=$\frac{12}{25}$t²−6t+24.
故S与t之间的函数关系式为S=$\frac{12}{25}$t²−6t+24.
(3)存在.理由如下:
由题意知∠HQP≠90°,
①当∠QPH=90°时，
如图
(2),过点H作HG⊥CD于点G,QK⊥CD交DC延长线于点K，
同理，可得HG=$\frac{12}{5}$,DG=$\frac{16}{5}$,
∴PG=$\frac{16}{5}$−t,CG=CD−DG=$\frac{34}{5}$.
在Rt△CQK中,CQ=6−$\frac{6}{5}$t.
∵∠DCE=∠KCQ,
∴sin∠DCE=sin∠KCQ,
cos∠DCE=cos∠KCQ,
∴$\frac{8}{10}$=$\frac{QK}{6−\frac{6}{5}t}$,$\frac{6}{10}$=$\frac{CK}{6−\frac{6}{5}t}$
∴QK=$\frac{4}{5}$(6−$\frac{6}{5}$t)=$\frac{24}{5}$−$\frac{24}{25}$t,
CK=$\frac{3}{5}$(6−$\frac{6}{5}$t)=$\frac{18}{5}$−$\frac{18}{25}$t,
∴PK=CK+CP=$\frac{18}{5}$−$\frac{18}{25}$t+10−t=$\frac{68}{5}$−$\frac{43}{25}$t.
∵∠HGP=∠K=∠QPH=90°,
∴∠QPK=90°−∠HPG=∠PHG,
∴△QPK∽△PHG,
∴$\frac{PK}{HG}$=$\frac{QK}{PG}$,
即$\frac{\frac{68}{5}−\frac{43}{25}t}{\frac{12}{5}}$=$\frac{\frac{24}{5}−\frac{24}{25}t}{\frac{16}{5}−t}$,
解得t=$\frac{210±10\sqrt{97}}{43}$.
∵0＜t＜5,
∴t=$\frac{210−10\sqrt{97}}{43}$;
②当∠QHP=90°时，
如图
(3),过点P作PR⊥ED于点R，
∵∠E=90°,
∴△DPR∽△DCE,
∴$\frac{DP}{CD}$=$\frac{DR}{DE}$=$\frac{PR}{CE}$,即$\frac{t}{10}$=$\frac{DR}{8}$=$\frac{PR}{6}$,
∴DR=$\frac{4}{5}$t,PR=$\frac{3}{5}$t.
∵∠HRP=∠E=∠QHP=90°,
∴∠PHR=90°−∠EHQ=∠HQE,
∴△PHR∽△HQE,
∴$\frac{PR}{HE}$=$\frac{HR}{QE}$,
即$\frac{\frac{3}{5}t}{4−\frac{4}{5}t}$=$\frac{4−\frac{4}{5}t+12−\frac{6}{5}t}{12−\frac{6}{5}t}$,
解得t=$\frac{65±5\sqrt{97}}{9}$.
∵0＜t＜5,
∴t=$\frac{65−5\sqrt{97}}{9}$.
综上所述，t的值为$\frac{65−5\sqrt{97}}{9}$或$\frac{210−10\sqrt{97}}{43}$.
素养考向　当数学问题中的条件、结论不明确或题意中含参数或图形不确定时，就应分类讨论,分类讨论一方面可将复杂的问题分解成若千个简单的问题，另一方面恰当地分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养，近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，还考查我们思维的深刻性