《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

9.如图,题目中的部分文字被墨水污染无法辨认,导致题目因缺少条件而无法解答.经查看答案解析发现,若设第一次购买了 $x$ 个魔方,则可列方程$\frac {1500} {x}-\frac {1000} {x-10}=5$ 进行解答.则被墨水污染部分的文字为(D).


A.这次商家每个魔方涨价 $5$ 元,结果比上次多买了 $10$ 个
B.这次商家每个魔方涨价 $5$ 元,结果比上次少买了 $10$ 个
C.这次商家每个魔方优惠 $5$ 元,结果比上次多买了 $10$ 个
D.这次商家每个魔方优惠 $5$ 元,结果比上次少买了 $10$ 个

答案： 9.D [解析]本题考查了分式方程的应用.
$\because$设第一次购买了x个魔方，$\therefore$方程中$(x-10)$表示第二次购买魔方的数量，$\therefore$第二次比第一次少买了10个.
$\because$单价=总价÷数量，$\therefore \frac{1500}{x}$表示第一次购买魔方的单价，$\frac{1000}{x-10}$表示第二次购买魔方的单价.$\because$所列方程为$\frac{1500}{x}-\frac{1000}{x-10}=5,\therefore$第二次购买魔方的单价比第一次低5元，$\therefore$被墨水污染部分的文字为这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个.故选D.

10.我们探究发现,关于 $x$,$y$ 的方程 $x+2y=3$ 的正整数解有 $1$ 组,$x+2y=5$ 的正整数解有 $2$ 组,$x+2y=7$ 的正整数解有 $3$ 组,$·s$,那么关于 $x$,$y$,$z$ 的方程 $x+2y+2z=15$ 的正整数解有(B).

A.$7$ 组
B.$21$ 组
C.$28$ 组
D.$42$ 组

答案： 10.B [解析]本题考查三元一次方程的问题.
令$x+2y=t(t\geqslant 3)$，
整体代入思想
则$t+2z=15$的正整数解中t的值可以为3,5,7,9,11,13，
$\therefore t+2z=15$的正整数解有6组.又$x+2y=t=3$的正整数解有1组；$x+2y=t=5$的正整数解有2组；$x+2y=t=7$的正整数解有3组；$x+2y=t=9$的正整数解有4组；$x+2y=t=11$的正整数解有5组；$x+2y=t=13$的正整数解有6组，
$\therefore$方程$x+2y+2z=15$的正整数解组数为$1+2+3+4+5+6=21$.故选B.

11.若$\sqrt{x-3}$在实数范围内有意义,则实数$x$ 的取值范围是$x\geqslant 3$.

答案： 11.$x\geqslant 3$ [解析]本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0.根据二次根式有意义的条件求解即可.
若$\sqrt{x-3}$在实数范围内有意义，则$x-3\geqslant 0$，解得$x\geqslant 3$.

12.如图,$\angle DAC$ 是$\triangle ABC$ 的外角,射线 $AE$ 在$\angle DAC$ 的内部,添加一个条件$\angle DAE=\angle B$(答案不唯一)，使得 $AE// BC$.(写出一种情况即可)

答案： 12.$\angle DAE=\angle B$(答案不唯一) [解析]本题考查了平行线的判定.
$\because \angle DAE=\angle B,\therefore AE// BC$.

13.把英文单词“$PEOPLE$”中的字母依次写在完全相同的 $6$ 张卡片上,每张卡片上只写其中的 $1$ 个字母,然后将卡片洗匀,从中随机抽取 $2$ 张,恰好是字母相同的两张卡的概率是$\frac{2}{15}$.

答案：
13.$\frac{2}{15}$ [解析]本题考查了列表法与画树状图法及概率公式.依据题意，画出树状图，从而可得随机抽取2张共有30种等可能性的结果，其中恰好是字母相同的两张卡片有4种，进而可以计算概率求解.
根据题意，画出树状图如下，

$\therefore$从中随机抽取2张共有30种等可能性的结果，其中恰好是字母相同的两张卡片有4种，$\therefore$从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的概率为$\frac{4}{30}=\frac{2}{15}$.

14. 已知点 $P(a,b)$ 在双曲线 $y_1=\frac{1}{x}$ 上,点 $M(6a,b),N(a,c)$ 在双曲线 $y_2=\frac{k}{x}$ 上,若$|b-c|=2$,则 $N$ 的坐标为$(\frac{5}{2},\frac{12}{5})$或$(-\frac{5}{2},-\frac{12}{5})$.

答案： 14.$(\frac{5}{2},\frac{12}{5})$或$(-\frac{5}{2},-\frac{12}{5})$ [解析]
本题考查待定系数法求反比例函数的表达式.反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数表达式，将点的坐标代入对应的反比例函数表达式，即可求解.
$\because$点$P(a,b)$在双曲线$y_{1}=\frac{1}{x}$上，
$\therefore ab=1,b=\frac{1}{a}$.$\because$点$M(6a,b)$，$N(a,c)$在双曲线$y_{2}=\frac{k}{x}$上，
$\therefore 6ab=k,ac=k,\therefore k=6,\therefore ac=6$，
$\therefore c=\frac{6}{a}.\because \vert b-c\vert=2$，
$\therefore \vert \frac{1}{a}-\frac{6}{a}\vert=2,\therefore \vert \frac{5}{a}\vert=2$，
$\therefore \vert a\vert=\frac{5}{2},\therefore a=\pm \frac{5}{2}$.
当$a=\frac{5}{2}$时，$c=\frac{12}{5}$，则$N(\frac{5}{2},\frac{12}{5})$，
当$a=-\frac{5}{2}$时，$c=-\frac{12}{5}$，
则$N(-\frac{5}{2},-\frac{12}{5})$.故点N的坐标为$(\frac{5}{2},\frac{12}{5})$或$(-\frac{5}{2},-\frac{12}{5})$.

15. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ABC=30°$,$AB=3$,$BC=2\sqrt{2}$,分别以 $AB$,$BC$ 为直角边,以 $B$ 为直角顶点向 $\triangle ABC$ 外作 $Rt\triangle ABD$ 和 $Rt\triangle CBE$,且 $\angle DAB=\angle E$,$M$,$N$ 分别是 $AD$,$CE$ 的中点,连接 $MN$.若 $AD=3\sqrt{3}$,则 $MN$ 的长度为$\frac{\sqrt{57}}{2}$.

答案：
15.$\frac{\sqrt{57}}{2}$
[解析]本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、直角三角形斜边中线定理及勾股定理的应用.由勾股定理先计算BD，易得$\triangle ABD\sim\triangle EBC$，继而得到$EC=2\sqrt{3}$，再根据$ Rt\triangle ABD$和$ Rt\triangle CBE$得到BM，BN，接着解直角三角形BMH，最后利用勾股定理求MN即可.
如图，连接BM，BN，过点M作$MH\bot BN$交NB的延长线于点H.

依题意，得$BD=\sqrt{AD^{2}-AB^{2}}=\sqrt{3^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{6}=2\sqrt{2}$.
$\because \angle ABD=\angle EBC=90^{\circ},\angle DAB=\angle E,\therefore \triangle ABD\sim\triangle EBC,\therefore \frac{BD}{BC}=\frac{AD}{EC}$，即$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{3}{EC}$，解得$EC=2\sqrt{3}$.
在$ Rt\triangle ABD$和$ Rt\triangle CBE$中，M，N分别是AD，CE的中点，
$\therefore BM=\frac{1}{2}AD=AM=\frac{3\sqrt{3}}{2},BN=\frac{1}{2}EC=EN=\sqrt{3}$，
$\therefore \angle MAB=\angle ABM,\angle NBE=\angle E$.
$\because \angle DAB=\angle E,\therefore \angle ABM=\angle NBE$.
$\because \angle EBC=\angle EBN+\angle NBC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ABM+\angle NBC=90^{\circ}$.
$\because \angle ABC=30^{\circ},\therefore \angle MBN=\angle NBC+\angle ABM=120^{\circ}$，
$\therefore \angle MBH=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$，
$\therefore BH=BM· \cos60^{\circ}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
$MH=BM· \sin60^{\circ}=\frac{9}{4}$，
$\therefore NH=BH+BN=\frac{7\sqrt{3}}{4}$，
$\therefore MN=\sqrt{MH^{2}+NH^{2}}=\frac{\sqrt{57}}{2}$.

16.(本小题满分 10 分)
(1)计算：$\sqrt{12}+\vert\sqrt{3}-2\vert-(\frac{1}{2})^{2}$；
(2)化简:$\frac{2m - 4}{m^2 - 1} · \frac{m^2 + 2m + 1}{m - 2} - \frac{m + 2}{m - 1}$

答案： 16.[解析]本题考查了二次根式的化简、绝对值、有理数的乘方、分式的化简.
(1)根据二次根式、绝对值、乘方计算解答即可；
(2)先因式分解，再约分，最后计算即可.
解：
(1)$\sqrt{12}+\vert\sqrt{3}-2\vert-(\frac{1}{2})^{0}=2\sqrt{3}+2-\sqrt{3}-\frac{1}{4}=\sqrt{3}+\frac{7}{4}$.
(2)$\frac{2m-4}{m^{2}-1}·\frac{m^{2}+2m+1}{m-2}-\frac{m+2}{m-1}=\frac{2(m-2)}{(m-1)(m+1)}·\frac{(m+1)^{2}}{m-2}-\frac{m+2}{m-1}=\frac{2m+2}{m-1}-\frac{m+2}{m-1}=\frac{m}{m-1}$.