《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

17.(本小题满分 10 分)暑假期间,小明一家到某旅游风景区登山.他们从山底 $A$ 处出发,先步行 $200 m$ 到达 $B$ 处,再从 $B$ 处坐缆车到达山顶 $C$ 处.已知山坡 $AB$ 的坡角 $\alpha=16°$,缆车的行驶路线 $BC$ 与水平面的夹角 $\beta=37°$,这座山的高度 $CD=296 m$,$A$,$B$,$C$,$D$ 在同一平面内.

(1)求小明一家步行上升的垂直高度(结果取整数);
(2)求缆车的行驶路线 $BC$ 的长(结果取整数,参考数据:$\sin 16° \approx 0.28$,$\cos 16° \approx 0.96$,$\tan 16° \approx 0.29$,$\sin 37° \approx 0.60$,$\cos 37° \approx 0.80$,$\tan 37° \approx 0.75$).

答案：
17.[解析]本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题.
解：
(1)如图，过点B作$BE\bot AD$于点E.在$ Rt\triangle ABE$中，$\angle A=\alpha=16^{\circ},AB=200m$，则$BE=AB· \sin A\approx200×0.28=56(m)$.故小明一家步行上升的垂直高度约为56m.

(2)如图，过点B作$BF\bot CD$于点F，
则四边形BEDF为矩形，
$\therefore DF=BE=56m.\because CD=296m$，
$\therefore CF=CD-DF=296-56=240(m)$.
在$ Rt\triangle CBF$中，$\angle CBF=\beta=37^{\circ}$，
则$BC=\frac{CF}{\sin\angle CBF}\approx\frac{240}{0.6}=400(m)$.故缆车的行驶路线BC的长约为400m.
中高考趋势 在中考中，三角函数的概念和初步性质，如正弦函数、余弦函数等是常见考点.而高中数学中，学生会学习到更多的三角函数的性质和相关定理，如正弦定理、余弦定理等.初中学生需要对三角函数的概念和初步性质有一定的了解，为高中学习打下基础.

18.(本小题满分 10 分)本学期,为提高七年级学生排球垫球水平,某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”,并分别于 3 月份和 6 月份进行了一分钟垫球数量测试,测试成绩用 $x$ (单位:个)表示,分为四个等级,包括优秀:$x\geqslant 30$;良好:$25\leqslant x＜30$;合格:$20\leqslant x＜25$;不合格:$x＜20$.
为了解本计划的实施效果,随机抽取了 $20$ 名学生,对他们 3 月份和 6 月份的测试成绩进行整理、描述和分析,部分信息如下:
信息一:3 月份测试成绩如下:
$17$,$33$,$28$,$27$,$35$,$19$,$21$,$22$,$25$,$22$,$25$,$27$,$19$,$27$,$18$,$27$,$28$,$29$,$31$,$32$.
信息二:6 月份测试成绩绘制成不完整条形图和扇形图如下:
信息三:测试成绩对比表如下:

请根据以上信息,完成下面问题:
(1)补全条形图.
(2)表中的 $a=$27$,b=$20%$,c=$35%.
(3)已知该校七年级共 $400$ 人,请估算七年级 6 月份达到“优秀”等级的学生比 3 月份增加了多少人?

答案：
18.[解析]本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合应用及利用样本估计总体.
解：
(1)根据题意，得合格的人数为$20×30\%=6$(人)，$\therefore$优秀的人数为$20-5-6-2=7$(人).补全统计图如下：

$\because$优秀：$x\geqslant 30,\therefore$3月份中优秀的人数为4人，6月份中优秀的人数为7人，$\therefore b=\frac{4}{20}=20\%,c=\frac{7}{20}=35\%$.
(3)6月份达到“优秀”的人数为$400×35\%=140$(人)，3月份达到“优秀”的人数为$400×20\%=80$(人)，$\therefore$6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了$140-80=60$(人).