《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

22. (本小题满分13分)黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割. 中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》就是用黄金分割比作为主题设计的.
[阅读观察]

[思考探究]
(1)说明图(2)中$\frac{AC}{AB}=\phi$；
(2)用不同于(1)的方法，说明图(3)中$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AB}$.
[迁移拓展]如图(4)，作圆内接正五边形：①作$\odot O$的两条互相垂直的半径$OA$和$OM$，取$OM$的中点$N$，连接$AN$；②作$\angle ONA$的平分线，交$OA$于点$K$；③过点$K$作$OA$的垂线，交$\odot O$于点$B,E$，连接$AB,AE$；④截取$BC=BA,CD=CB$，连接$BC,CD,DE$. 五边形$ABCDE$即为所求.

(3)若$OA=2$，根据以上作法，证明：$AB^{2}=\phi^{2} · BE^{2}$.

答案：
22.[解析]本题考查了全等三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理、正方形的性质、圆内接正五边形以及黄金分割点等知识.
(1)解：设$BD=a$，则$AB=2a$.
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理，得
$AD=\sqrt{AB^{2}+BD^{2}}=\sqrt{(2a)^{2}+a^{2}}=\sqrt{5}a$，
∴$AE=AD-DE=AD-BD=(\sqrt{5}-1)a$，
∴$AC=AE=(\sqrt{5}-1)a$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\varphi$.
(2)解：如图
(1)，延长GC交DE于点M.

在$Rt\triangle BAF$中，根据勾股定理，得
$AB^{2}=BF^{2}-AF^{2}$，
∴$AB^{2}=(BF+AF)(BF-AF)$.
∵$BF=FH$，$AF=FD$，
∴$BF+AF=FH+FD=HD$，
$BF-AF=FH-AF=AH=HG$，
∴$AB^{2}=HD· HG$，
∴$S_{正方形ABED}=S_{矩形HGMD}$，
∴$S_{矩形CBEM}=S_{正方形AHGC}$，
∴$BC· BE=AC^{2}$，
即$BC· AB=AC^{2}$，$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AB}$.
(3)证明：
∵半径$OA=2$，
∴$ON=1$，$AN=\sqrt{5}$.
如图
(2)，过点K作$KG\perp AN$于点G，连接OB.

∵NK平分$\angle ONA$，
∴$OK=KG$，
∴$Rt\triangle NOK\cong Rt\triangle NGK(HL)$，
∴$NO=NG$，
∴$AG=\sqrt{5}-1$.
在$Rt\triangle KGA$中，$KG^{2}+AG^{2}=KA^{2}$.
设$OK=x$，则$x^{2}+(\sqrt{5}-1)^{2}=(2-x)^{2}$，
解得$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$OK^{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
在$Rt\triangle BKO$中，$BK^{2}=OB^{2}-OK^{2}$，
则$BK^{2}=\frac{5+\sqrt{5}}{2}$.
在$Rt\triangle BKA$中，$AB^{2}=BK^{2}+AK^{2}$，
∴$AB^{2}=10-2\sqrt{5}$.
根据垂径定理，得$BE=2BK$，
∴$BE^{2}=4BK^{2}=10+2\sqrt{5}$.
∵$\varphi^{2}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∴$\varphi^{2}· BE^{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}×(10+2\sqrt{5})=10-2\sqrt{5}$，
∴$AB^{2}=\varphi^{2}· BE^{2}$.