《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

22. (本小题满分 10 分)[问题提出]
已知$\angle\alpha$,$\angle\beta$都是锐角,$\tan\alpha=\frac{1}{2}$,$\tan\beta=\frac{1}{3}$,求$\angle\alpha+\angle\beta$的度数.
[问题解决]
(1)如图,小亮同学在边长为 1 的正方形网格中画出$\angle BAD$和$\angle CAD$,请你按照这个思路求$\angle\alpha+\angle\beta$的度数. (点$A$,$B$,$C$,$D$都在格点上)

[策略迁移]
(2)已知$\angle\alpha$,$\angle\beta$都是锐角,$\tan\alpha=\frac{2}{3}$,$\tan\beta=\frac{3}{2}$,则$\angle\alpha+\angle\beta=$90；
(3)已知$\angle\alpha$,$\angle\beta$,$\angle\theta$都是锐角,$\tan\alpha=\frac{1}{3}$,$\tan\beta=\frac{1}{7}$,$\angle\alpha+\angle\beta=\angle\theta$,求$\tan\theta$的值. (提示：在正方形网格中画出求解过程的图形,并直接写出答案)

答案：
22.[解析]本题考查作图——网格作图、勾股定理、解直角三角形，解题的关键是学会用数形结合的思想解决问题.
解：
(1)如图
(1)，连接$BC$.
$\because AB=BC=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{10}$，
$\therefore AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，
$\therefore\triangle ABC$为等腰直角三角形，
$\therefore\angle ABC=90^{\circ}$，$\therefore\angle BAC=45^{\circ}$，
$\therefore\angle\alpha+\angle\beta=45^{\circ}$.


(2)90提示：如图
(2)，连接$BC$.
由题意，得$\angle\alpha=\angle BAD$，$\angle\beta=\angle DAC$.
$\because AB=AC=\sqrt{13}$，$BC=\sqrt{26}$，
$\therefore AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$，
$\therefore\triangle ABC$是等腰直角三角形，
$\therefore\angle BAC=90^{\circ}$，$\therefore\angle\alpha+\angle\beta=90^{\circ}$.
(3)如图
(2)，延长$DE$至点$G$，连接$GF$，$\angle\alpha=\angle GDH$，$\angle\beta=\angle HDF$.
$\because\angle\alpha+\angle\beta=\theta$，
$\therefore\angle\theta=\angle GDH+\angle HDF=\angle GDF$.
$\because DG=2\sqrt{10}$，$GF=\sqrt{10}$，$DF=5\sqrt{2}$，
$\therefore DG^{2}+GF^{2}=DF^{2}$，
$\therefore\triangle DGF$是直角三角形.
在$ Rt\triangle DGF$中，$\tan\theta=\tan\angle GDF=\frac{FG}{DG}=\frac{1}{2}$.

23. (本小题满分 10 分)(1)如图(1),将平行四边形纸片$ABCD$的四个角向内折叠,恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形$EFGH$. 判断四边形$EFGH$的形状,并说明理由；
(2)如图(2),已知$□ ABCD$能按照图(1)方式对折成一个无缝隙、无重叠

的

四

边

形$MNPQ$,其中,点$M$在$AD$上,点$N$在$AB$上,点$P$在$BC$上,点$Q$在$CD$上. 请用直尺和圆

规

确

定

点$M$的位置. (不写作法,保留作图痕迹)

答案：
23.[解析]本题考查作图——复杂作图、平行四边形的性质、翻折变换，解题的关键是掌握平行四边形的性质.
解：
(1)四边形$EFGH$是矩形.
理由如下：通过折叠的性质可知$\angle AFE=\angle EFK$，$\angle BFG=\angle KFG$.
$\because\angle AFB=180^{\circ}$，
$\therefore2\angle EFK+2\angle KFG=180^{\circ}$，
$\therefore\angle EFK+\angle KFG=90^{\circ}$，
即$\angle EFG=90^{\circ}$.
同理可证$\angle FGH=\angle EHG=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$EFGH$是矩形.
(2)如图，分别以点$D$，$C$为圆心，大于$\frac{1}{2}DC$的长为半径作弧，连接两个交点，即为$DC$的垂直平分线，与$DC$交于点$Q$，同理作出$AB$的垂直平分线与$AB$交于点$N$，连接$NQ$，$AC$，交于点$O$，以点$O$为圆心，$OQ$长为半径作弧交$AD$于点$M$，点$M$即为所作.