《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

25. (本小题满分 12 分)如图,抛物线$y=-x^{2}+bx+c$交 x 轴于 A,B 两点,交 y 轴于点 C,其中 A$(-1,0)$,C$(0,5)$.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点 P 为对称轴上一点,当$\triangle ACP$的周长最小时,求点 P 的坐标;
(3)点 M 为对称轴上一点,点 N 为抛物线上一点,若以 A,C,M,N 为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点 N 的坐标.

答案：
25.[解析]本题属于二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数表达式、求函数图象的交点坐标等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质并能利
用分类讨论的思想求点N的坐标是解答此题的关键.
解:
(1)
∵抛物线y=−x²+bx+c经过点A(−1,0)、点C(0,5),
∴$\begin{cases} 0=-1-b+c,\\5=c,\end{cases}$解得$\begin{cases} b=4,\\c=5,\end{cases}$
∴抛物线的表达式为y=−x²+4x+5.
(2)
∵抛物线的表达式为y=−x²+4x+5=−(x−2)²+9,
∴抛物线的对称轴为直线x=2,点B的坐标为(5,0).
如图，点A,B关于直线x=2对称，连接BC交对称轴于点P，点P即为所求.

设直线BC的表达式为y=mx+n(m≠0),
$\begin{cases} 0=5m+n,\\5=n,\end{cases}$
解得$\begin{cases} m=-1,\\n=5,\end{cases}$
∴直线BC的表达式为y=−x+5.当x=2时,y=3,
∴点P的坐标为(2,3).
(3)点N的坐标为(−3,−16)或(3,8)或(1,8).