《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

20. (本小题满分 6 分)学校综合实践小组测量博学楼的高度.如图,点$A,B,C,D,E$在同一平面内,点$B,C,D$在同一水平线上,一组成员从 19 米高的厚德楼顶部$A$测得博学楼的顶部$E$的俯角为$22^{\circ}$,另一组成员沿$BD$方向从厚德楼底部$B$点向博学楼走 15 米到达$C$点,在$C$点测得博学楼顶部$E$的仰角为$42^{\circ}$,求博学楼$DE$的高度.(参考数据:$\sin22^{\circ}\approx\frac{3}{8}$,$\cos22^{\circ}\approx\frac{15}{16}$,$\tan22^{\circ}\approx\frac{2}{5}$,$\sin42^{\circ}\approx\frac{27}{40}$,$\cos42^{\circ}\approx\frac{3}{4}$,$\tan42^{\circ}\approx\frac{9}{10}$)

答案：
20.[解析]本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行分析添加适当的辅助线是解题的关键.
解:如图，过点E作EF⊥AB,垂足为F.

由题意,得EF=BD,BF=DE,
BC=15米,AG//EF,
∴∠GAE=∠AEF=22°.
设CD=x米,则EF=BD=BC+CD=(x+15)米.
在Rt△DCE中,∠ECD=42°,
∴DE=CD·tan42°≈$\frac{9}{10}$x(米),
∴DE=BF=$\frac{9}{10}$x(米).
在Rt△AEF中,∠AEF=22°,
∴AF=EF·tan22°≈$\frac{2}{5}$(x+15)米.
∵AF+BF=AB,
∴$\frac{2}{5}$(x+15)+$\frac{9}{10}$x=19,
解得x=10,则DE=$\frac{9}{10}$x=9(米).
故博学楼DE的高度约为9米.
解后反思　解直角三角形的应用是中考必考题，问题的特点是将实际生活的物体，利用作辅助线构造直角三角形的方法解题，因为是实际应用问题，数据有时略大，计算要细心，要合理利用题目给定的数据，以勾股定理、三角函数为主要解题方法,解直角三角形的一般过程是:①将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题);②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案.

21. (本小题满分 8 分)某公司成功研发了一款新型产品,接到了首批订单,产品数量为 2100 件.公司有甲、乙两个生产车间,甲车间每天生产的数量是乙车间的 1.5 倍.先由甲、乙两个车间共同完成 1500 件,剩余产品再由乙车间单独完成,前后共用 10 天完成这批订单.
(1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品.
(2)首批订单完成后,公司将继续生产 30 天该产品,每天只能安排一个车间生产,如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的 2 倍,要使这 30 天的生产总量最大,那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数?

答案： 21.[解析]本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是:
(1)找准等量关系，正确列出分式方程;
(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m 的函数关系式.
解:
(1)设乙车间每天能生产x件产品，则甲车间每天能生产1.5x件产品，依题意,$\frac{1500}{1.5x}$+$\frac{2100-1500}{x}$=10,解得x=120,
经检验，x=120是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×120=180(件).
故甲车间每天能生产180件产品，乙车间每天能生产120件产品.
(2)设安排甲车间生产m天，乙车间生产(30−m)天，这30天的生产总量为w件.
依题意,得w=180m+120(30−m)=60m+3600.
∵60＞0,
∴w随m的增大而增大.
∵安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，
∴m≤2(30−m),解得m≤20,
∴当m=20时,w取得最大值，此时30−m=30−20=10(天).
故要使这30天的生产总量最大，安排甲车间生产20天，乙车间生产10天.