《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

22. (本小题满分 8 分)如图,在$□ ABCD$中,$E$为$AB$的中点,$F$为$ED$延长线上一点,连接$AF,BF$,过点$B$作$BG// AF$交$FE$的延长线于点$G$,连接$AG$.
(1)求证:$\triangle AEF\cong\triangle BEG$;
(2)已知(从以下两个条件中选择一个作为已知,填写序号),请判断四边形$AGBF$的形状,并证明你的结论.

条件①:$EF=\frac{1}{2}CD$;条件②:$EF\perp CD$.
(注:如果选择条件①、条件②分别进行解答,按第一个解答计分)

答案： 22.[解析]本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、矩形判定，关键是掌握对角线相等的平行四边形是矩形.
(1)证明:
∵BG//AF,
∴∠AFE=∠BGE、∠FAE=∠GBE.
∵E是AB的中点，
∴AE=BE.
在△AEF和△BEG中，
$\begin{cases}∠AFE=∠BGE,\\∠FAE=∠GBE,\\AE=BE,\end{cases}$
∴△AEF≌△BEG(AAS).
(2)解:①(答案不唯一)　矩形
提示:由
(1)知△AEF≌BEG(AAS),
∴AF=BG.
∵AF//BG,
∴四边形AGBF是平行四边形，
∴EF=$\frac{1}{2}$FG.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD.
∵EF=$\frac{1}{2}$CD,
∴FG=AB,
∴四边形AGBF是矩形.
方法诠释　判定两个三角形全等的一般方法有SSS,SAS,ASA,AAS,HL.注意AAA,SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，选择方法时需要紧扣条件正确选用,

23. (本小题满分 8 分)[定义新运算]
对正实数$a,b$,定义运算“$\otimes$”,满足$a\otimes b=\frac{ab}{a+b}$.例如:当$a＞0$时,$(2a)\otimes1=\frac{2a·1}{2a+1}=\frac{2a}{2a+1}$.
(1)当$a＞0$时,请计算:$(2a)\otimes(2a)=$a.
[探究运算律]
对正实数$a,b$,运算“$\otimes$”是否满足交换律$a\otimes b=b\otimes a$?
$\because a\otimes b=\frac{ab}{a+b},b\otimes a=\frac{ba}{b+a}$,$\therefore a\otimes b=b\otimes a$,$\therefore$运算“$\otimes$”满足交换律$a\otimes b=b\otimes a$.
(2)对正实数$a,b,c$,运算“$\otimes$”是否满足结合律$(a\otimes b)\otimes c=a\otimes(b\otimes c)$?请说明理由.
[应用新运算]
(3)如图,正方形$ABCD$是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形$EFGH$拼成,$AF=a,BF=b$,且$a＞b$.若正方形$ABCD$与正方形$EFGH$的面积分别为 26 和 16,则$(2a)\otimes b\otimes(2a)$的值为$\frac{5}{6}$.

答案： 23.[解析]本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式变形求值、全等三角形的性质、勾股定理、分式的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键，
解:
(1)a　提示:由新定义，
得(2a)⊗(2a)=$\frac{2a·2a}{2a+2a}$=$\frac{4a²}{4a}$=a.
(2)满足.理由如下:
左边:(a⊗b)⊗c=$\frac{\frac{ab}{a+b}·c}{\frac{ab}{a+b}+c}$=$\frac{abc}{ab+ac+bc}$
右边:a⊗(b⊗c)=a⊗$\frac{bc}{b+c}$=$\frac{a·\frac{bc}{b+c}}{a+\frac{bc}{b+c}}$=$\frac{abc}{ab+ac+bc}$
∵左边=右边，
∴对正实数a,b,c,运算“⊗”满足结合律(a⊗b)⊗c=a⊗(b⊗c).
(3)$\frac{5}{6}$　提示:由题意，得∠AFB=90°,
∴AF²+BF²=AB².
∵AF=a,BF=b,且a＞b,正方形ABCD的面积为26,
∴a²+b²=26.
∵四个直角三角形全等，
∴AE=BF=b,
∴EF=AF−AE=a−b.
∵正方形EFGH的面积为16，
∴(a−b)²=a²+b²−2ab=16,
∴26−2ab=16,
∴ab=5,
∴(a+b)²=(a−b)²+4ab=16+4×5=36,
∴a+b=6(负值舍去)，
∴(2a)⊗b⊗(2a)=(2a)⊗(2a)⊗b=a⊗b=$\frac{ab}{a+b}$=$\frac{5}{6}$.