《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

9.如图，在 Rt△ABC 中，$∠A=60°$,CD 平分$∠ACB$，F 为 AC 中点，E 为 CB 上一点，将△CEF 沿 EF 折叠，使点 C 落到点 G 处，连接 GB.当 CD⊥GE 时，$∠BGE$的度数为(B).

A.$5°$
B.$7.5°$
C.$10°$
D.$15°$

答案：
9.B [解析]本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、折叠的性质、直角三角形的性质.
如图，连接BF,

∵在Rt△ABC中,∠A=60°,
∴∠ACB=30°.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=15°.
∵CD⊥GE,
∴∠GPC=90°,
∴∠CME=90°−15°=75°.
在△CME中,∠CEM=180°−∠ACB−∠CME=180°−30°−75°=75°,
根据折叠的性质可知∠CEF=∠GEF=$\frac{1}{2}$×75°=37.5°,∠FGE=∠ACB=30°,
∴∠GFM=∠FME−∠FGE=75°−30°=45°.
∵F为AC中点，
∴BF=AF=CF=GF,
∴△ABF是等边三角形，
∴∠AFB=60°,
∴∠GFB=∠GFM+∠MFB=45°+60°=105°.
在△FGB中,FG=FB,
∴∠FGB=$\frac{1}{2}$(180°−∠GFB)=$\frac{1}{2}$(180°−105°)=37.5°,
∴∠BGE=∠BGF−∠FGE=37.5°−30°=7.5°.
故选B.

10.在知识问答竞赛中，答对一题加 1 分，答错一题减 1 分，每道题必须作答.已知小明共答题 20 道，得分 10 分;小红共答题 15 道，那么两位同学答对与答错题目的差相加可能是(B).

A.10
B.15
C.20
D.35

答案： 10.B [解析]本题主要考查了列代数式解决问题.
设小明答对了x道题，则答错了(20−x)道题，
根据题意可得x−(20−x)=10,
解得x=15,
∴小明答对了15道题，则答错了5道题，
∴小明答对与答错题目的差为15−5=10.
设小红答对了m道题，答错了n道题，则m+n=15,
∵15为奇数，
∴m−n一定为奇数，
∴10+(m−n)一定为奇数，
∴A,C选项排除，
如果这15道题小红全部答对了，那么小红答对与答错的题目的差为15,
∴10+(m−n)＜10+15=25,
∴D选项排除，
∴两位同学答对与答错题目的差相加可能是15.故选B.

11.若代数式$\sqrt{1-a}$在实数范围内有意义，则$a$的取值范围是a≤1.

答案： 11.a≤1 [解析]本题主要考查了二次根式有意义的条件.
∵代数式$\sqrt{1−a}$在实数范围内有意义，
∴1−a≥0,解得a≤1.
易错警示 二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.

12.若关于$x$的一元二次方程$kx^2+2x+1=0$有实数根，则$k$的取值范围是k≤1且k≠0.

答案： 12.k≤1且k≠0 [解析]本题主要考查了一元二次方程根的判别式.
∵一元二次方程kx²+2x+1=0有实数根，
∴{k≠0,
{Δ=4−4k≥0,
解得k≤1且k≠0.
知识拓展 一元二次方程根的判别式:
(1)当Δ＞0时，方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根;
(2)当Δ=0时，方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根;
(3)当Δ＜0时，方程ax²+bx+c=0(a≠0)没有实数根.

13.如图为 6 个边长相等的正方形的组合图形，则$∠1+∠2+∠3=$135°

答案：
13.135° [解析]本题主要考查了全等三角形的性质和判定、正方形的判定与性质，如图所示.

设每个小正方形的边长为1，则AG=AC=3,GF=CD=1,∠AGF=∠ACD=90°,AB=BE=EH=AH=2,∠ABE=90°,
∴△AGF≌△ACD(SAS),
∴∠3=∠AFG,
又四边形ABEH是正方形，
∴∠2=45°,
∴∠1+∠2+∠3=∠AFG+∠1+45°=135°.

14.如图，△ABO 为等边三角形，点 A，B 在⊙O 的圆周上，AO=1，P 为圆周上一动点，C 为 BP 的中点，当点 P 在圆周上运动时，AC 的最小值为$\frac{\sqrt{3}−1}{2}$.

答案：
14.$\frac{\sqrt{3}−1}{2}$ [解析]本题主要考查了等边三角形的性质、圆的基本性质、中位线定理.
如图，过点A作AE⊥OB于点E,连接CE,

∵OA=1,
∴OP=OB=OA=1.
∵△ABO是等边三角形，
∴点E是BO的中点.
又点C是BP的中点，
∴CE是△BPO的中位线，
∴CE=$\frac{1}{2}$PO=$\frac{1}{2}$,BE=OE=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$,AE⊥OB.
在Rt△AEB中,AE=$\sqrt{AB²−BE²}$=$\sqrt{1²−(\frac{1}{2})²}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵AC+CE≥AE,
∴当点A,C,E三点共线时，AC有最小值，
∴最小值为AC=AE−CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$−$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}−1}{2}$.

15.一条笔直的公路上有 A，B，C 三地，已知 A，B 两地相距 200 km，C 在 AB 之间，早上 8 时甲车匀速从 A 地出发，10 时到达 C 地，在休

整

一小时后继续前往 B 地;乙车早上 9 时从 B 地匀速出发前往 A 地，中途汽车发生故障，维修后保持原速继续前往 A 地，如图(1)、图(2)分别代表甲、乙两车距 B 地的距离与时间的图象，图(3)为两车之间的距离与时间的图象，下列说法中正确的是②③(请填写序号).
①$v_甲=\frac{100}{3}km/h$，$v_乙=60km/h$;②$t_1=3.6$;③乙车修车正好用去 1 小时;④甲车比乙车先到达目的地.

答案：
15.②③ [解析]本题主要考查了函数图象.
由题图
(1)可知，A地到B地共200km，
∵甲车从A地到B地共用了6h，中途休息了1h，
∴甲车共行驶了6−1=5(h),
∴甲车的速度为200÷5=40(km/h).
如图，由图可知，ME是甲车行驶1h时，两车之间的距离与时间的图象，EF是甲、乙两车共同行驶时，两车之间的距离与时间的图象，FG段两车之间的距离没有变化，说明这段时间两车都没有行驶，
即此段时间甲在休息，乙在修车，甲从10时到11时休息了1h，乙修车用了1h.

∵甲车早上8时从A地出发，乙车早上9时从B地匀速出发前往A地，
∴乙从9时出发，10时开始修车，
∴乙在修车前行驶了1h，
∴乙车的行驶速度是60km/h，故①错误;
设两车从出发到相遇用了t₁h，
则t₁h甲行驶的路程为40(t₁−1)km，乙行驶的路程为60(t₁−2)km，
根据题意可得40(t₁−1)+60(t₁−2)=200,
解得t₁=3.6,故②正确;
由①可知乙车修车正好用去1h，故③正确;
由题图
(3)可知:两车相遇后，两车之间的距离匀速增加，同时到达目的地，故④错误.综上所述，正确的是②③.
易错警示 分段函数问题:分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数,要特别注意自变量取值范围的划分.

16.(本小题满分 8 分)(1)计算:$(-2)^{-1}+2\tan60°-\sqrt{27}+(π-3.14)^0$;
(2)先化简，再求值:$(\frac{1}{x-1}-\frac{3}{x^2-1})÷\frac{x^2-4b}{x-1}$,请在-2，-1，1，2，3 这五个数中选择一个你认为最合适的数代入求值.

答案： 16.[解析]本题主要考查了实数混合运算、特殊角三角函数值、分式的化简求值.
(1)先计算乘方和把特殊角三角函数值代入，再合并同类二次根式计算即可;
(2)先根据分式混合运算法则化简，再把符合题意的x值代入化简后的式子计算即可.
解：
(1)原式=−$\frac{1}{2}$+2$\sqrt{3}$−3$\sqrt{3}$+1=$\frac{1}{2}$−$\sqrt{3}$.
(2)原式=$\frac{x+1−3}{(x−1)(x+1)}$·$\frac{x−1}{(x+2)(x−2)}$
=$\frac{x−2}{(x−1)(x+1)}$·$\frac{x−1}{(x+2)(x−2)}$
=$\frac{1}{(x+1)(x+2)}$.
∵x≠±1,±2,
∴x取3.
当x=3时，
原式=$\frac{1}{(3+1)(3+2)}$=$\frac{1}{20}$.
答题规范 化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能因跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”.