《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

21. (本小题满分 9 分)[综合与实践]
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务. 为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动.
如图，一艘渔船自东向西以每小时 10 海里的速度向码头 $A$ 航行，小组同学收集到以下信息：

请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求渔船在航行过程中到灯塔 $B$ 的最短距离；
(2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头 $A$(参考数据：$\sin 37^{\circ} \approx 0.60$，$\cos 37^{\circ} \approx 0.80$，$\tan 37^{\circ} \approx 0.75$，$\sin 14^{\circ} \approx 0.24$，$\cos 14^{\circ} \approx 0.97$，$\tan 14^{\circ} \approx 0.25$).

答案：
21.[解析]本题考查了解直角三角形的应用. 解:
(1)如图,过点B作$BE \perp AC$于点E. 设$BE = x$海里, 依题意,$\angle EBC = 53°$,$\angle EBD = 45°$,$CD = 10 × \frac{1}{2} = 5$海里, $\therefore \angle C = 90° - \angle EBC = 37°$,$ED = x$海里, $\therefore EC = ED + DC = (x + 5)$海里. $\because$在$Rt \triangle BCE$中,$EC = \frac{BE}{\tan C} = \frac{x}{\tan 37°} \approx \frac{x}{0.75} = \frac{4}{3}x$海里, $\therefore \frac{4}{3}x = x + 5$,解得$x = 15$, $\therefore$渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里.
(2)$\because$在$Rt \triangle ABE$中,$\angle ABE = 14°$,$BE = 15$海里, $\therefore AE = BE · \tan 14° \approx 15 × 0.25 = 3.75$海里, $\therefore AC = AE + DE + DC = 15 + 3.75 + 5 = 23.75$海里, $\therefore 23.75 ÷ 10 = 2.375$(小时)$= 142.5$(分钟). $\because$从14:30,经过142.5分钟后时间是16:52:30,在17:30之前到达, $\therefore$不改变航行速度,渔船能在浓雾到来前到达码头A.