《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

20. (本小题满分 9 分)2025 年 6 月 6 日是第 30 个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛.以下是本次护眼知识竞赛成绩的抽样与数据分析过程.
[收集数据]随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本.
[整理数据]整理发现样本数据的最低分为 51 分，最高分为满分 100 分,对样本数据分成 5 组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表：

[描述数据]根据样本数据的统计表绘制如图所示不完整的频数分布直方图.
[分析数据]请根据以上信息，解答下列问题：
(1)$m=$10%，$n=$30%；请将频数分布直方图补充完整；
(2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第4组的分数段内；
(3)计划将竞赛成绩不低于 91 分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校 3000 名学生中获得“护眼知识达人”的人数.

答案：
20.[解析]本题考查频数分布直方图、总体、个体、样本容量、样本估计总体及中位数，解题的关键是掌握相关知识
解：
(1)$10\%$ $30\%$ 提示：总人数$=40÷40\%=100$(人)，
$\therefore a=100×5\%=5$(人)，$b=100-5-10-15-40=30$(人)，
$m=\frac{10}{100}=10\%$，$n=\frac{30}{100}=30\%$.
频数分布直方图如图所示.

(2)$4$ 提示：中位数处于第$4$组的分数段内.
(3)$3000×30\%=900$(人).
故估计全校$3000$名学生中获得“护眼知识达人”的人数为$900$人.

21. (本小题满分 9 分)如图,在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=108°$，$AB=AC$.以点$B$为圆心，适当长为半径画弧，分别交$BA，BC$于点$E，F$；以点$A$为圆心，$BE$的长为半径画弧，交$AC$于点$H$，以点$H$为圆心，$EF$的长为半径画弧，两弧交于点$G$；连接$AG$并延长交$BC$于点$D$.
(1)求证:$\triangle ACD\backsim\triangle BCA$；
(2)当$AB=4$时，求$BC$的长.

答案： 21.[解析]本题重点考查尺规作图、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质等知识，正确理解和应用基本作图——作一个角等于已知角是解题的关键.
(1)证明：由作图，得$\angle CAD=\angle B$.
又$\angle C=\angle C$，$\therefore\triangle ACD\backsim\triangle BCA$.
(2)解：$\because AB=AC$，$\therefore\angle B=\angle C$.
$\because\angle B+\angle C+\angle BAC=180^{\circ}$，
且$\angle BAC=108^{\circ}$，
$\therefore2\angle C+108^{\circ}=180^{\circ}$，
$\therefore\angle B=\angle C=36^{\circ}$，
$\therefore\angle CAD=\angle B=36^{\circ}$，
$\therefore\angle BAD=\angle BAC-\angle CAD=72^{\circ}$，
$\angle BDA=\angle C+\angle CAD=72^{\circ}$，
$\therefore\angle BAD=\angle BDA$，
$\therefore DB=AB=AC=4$，
$\therefore DC=BC-4$.
$\because\triangle ACD\backsim\triangle BCA$，
$\therefore\frac{AC}{BC}=\frac{DC}{AC}$，$\therefore BC· DC=AC^{2}=4^{2}=16$，
$\therefore BC(BC-4)=16$，
解得$BC=2+2\sqrt{5}$或$BC=2-2\sqrt{5}$(不符合题意，舍去)，
$\therefore BC$的长是$2+2\sqrt{5}$.