《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

21. (本小题满分 8 分)随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为 16 千米.若采用传统车辆匀速配送，公路距离为 30 千米，速度是无人机的 1.5 倍，但所用时间要比无人机配送多 6 分钟.
(1) 求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/小时.
(2) 若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10 分钟后接到医院通知，急救药品需要在 8 分钟以内(含 8 分钟)送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/小时，才能完成此次配送任务？

答案： 21.[解析]本题考查了分式方程的应用
以及一元一次不等式的应用.
(1)根据采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，但所用时间要比无人机配送多6分钟，列出分式方程，解这个方程验根后确定实际问题的解;
(2)根据10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内(含8分钟)送达，列出一元一次不等式，解不等式可得实际问题的解.
　解:
(1)设无人机的配送速度是x千米/小时，则传统车辆的配送速度是1.5x千米/小时，
　　由题意，得$\frac{30}{1.5x}$−$\frac{16}{x}$=$\frac{1}{10}$,
　解得x=40,
　经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×40=60.
　故无人机的配送速度是40千米/小时，传统车辆的配送速度是60千米/小时.
(2)设无人机的速度要提到y千米/小时，才能完成此次配送任务，
　　由题意,得40×$\frac{10}{60}$+$\frac{8}{60}$y≥16,
　解得y≥70.
　　故无人机的速度至少要提到70千米/小时，才能完成此次配送任务.

22. (本小题满分 8 分)如图(1)，四边形 ABCD 是边长为 6 的正方形，E 为 AB 上一点，将△ADE 沿 DE 折叠，点 A 落在点 F 处，连接 BF，CF.

(1) 若 E 为 AB 的中点，求△BFC 的面积.
要解决这个问题，可以这样思考：如图(2)，过点 F 作$GH // AB$，可得 GH 与 AD，BC 都垂直，在 Rt△AED 中，由勾股定理得$DE = 3\sqrt{5}$，由等面积法可求得$AO = \frac{6\sqrt{5}}{5}$，因此$AF = \frac{12\sqrt{5}}{5}$，由△AGF∼△EAD 可得$\frac{AF}{ED} = \frac{GF}{AD}$，则$GF = \frac{24}{5}$，因此$FH = \frac{6}{5}$，所以$S_{△BFC} =$$\frac{18}{5}$；
(2) 如图(3)，若 E 为 AB 的三等分点($AE ＜ BE$)，则$S_{△BFC} =$$\frac{36}{5}$；
(3) 如图(4)，若 E 为 AB 的 n 等分点($AE ＜ BE$)，则$S_{△BFC} =$$\frac{18(n-1)^2}{n^2+1}$.

答案：
22.[解析]本题考查了与正方形折叠有关的综合.
(1)根据面积公式进行计算;
(2)连接AF，过点F作GH//AB，根据勾股定理、等面积法以及相似三角形来进行计算;
(3)方法同
(2)，由相似三角形的性质及三角形面积公式进行推理和计算.解:
(1)$\frac{18}{5}$　提示:
∵GF=$\frac{24}{5}$,
∴FH=6−$\frac{24}{5}$=$\frac{6}{5}$,
∴三角形BFC的面积=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{6}{5}$=$\frac{18}{5}$.
(2)$\frac{36}{5}$　提示:如图，连接AF，过点F 作GH//AB,可得GH与AD,BC都垂直
　　　　　　
∵E为AB的三等分点(AE＜BE)，
AB=6,
∴AE=2.
　在Rt△AED中，由勾股定理可得
DE=　$\sqrt{AD²+AE²}$=2$\sqrt{10}$
∵S四边形ADFE=2S△ADE,
∴$\frac{1}{2}$AF.DE=2×$\frac{1}{2}$AE.AD,
∴AF=$\frac{2×2×6}{2\sqrt{10}}$=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$.
　　由
(1)知△AGF∽△EAD,
∴$\frac{AF}{ED}$=
　　　　　6$\sqrt{10}$
　$\frac{GF}{AD}$，.
∴$\frac{5}{2\sqrt{10}}$=$\frac{GF}{6}$.
∴.GF=$\frac{18}{5}$,
∴FH=6−$\frac{18}{5}$=$\frac{12}{5}$,
∴S△BFC=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{12}{5}$=$\frac{36}{5}$.
(3)$\frac{18(n−1)²}{n²+1}$　　提示:由题意，得AE$\frac{6}{n}$,同理可得DE$\frac{6}{n}$　$\sqrt{n²+1}$,同
(2)知AF=$\frac{12}{\sqrt{n²+1}}$.
∵△AGF∽△EAD,
∴$\frac{AF}{ED}$=$\frac{GF}{D}$,
　　　　12
∴$\frac{\sqrt{n²+1}}{6\sqrt{n²+1}}$"$\frac{GF}{6}$
∴GF=$\frac{12n}{n²+1}$,$\frac{6}{n}$
∴S△BFC=$\frac{1}{2}$×6×(6−−$\frac{12n}{n²+1}${=
　　18(n−1)²
　　　n²+1　.
　　　　　　　答本题需要灵活运用、翻折变换的性质、相似
　　　　　　　与性质、勾股定理以及等积法求线段的长度

23. (本小题满分 8 分)如图，在□ABCD 中，E，F 分别是边 BC 和 AD 的中点，G，H 在对角线 AC 上，且$AG = CH = \frac{1}{4}AC$，连接 GF，EH.

(1) 求证：△AFG≌△CEH.
(2) 连接 GE，FH，当 AC 与 AB 满足怎样的数量关系时，四边形 EHFG 是矩形？请证明你的结论.

答案：
23.[解析]本题考查了特殊四边形的性质和判定.
(1)根据平行四边形的性质和全等三角形的判定来进行证明;
(2)根据全等三角形的性质和矩形的判定来进行证明.
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AD=BC,
∴∠FAG=∠ECH.
∵E,F分别是边BC和AD的中点，
∴AF=CE.
　　在△AFG和△CEH中，
AF=CE,
　　∠FAG=∠ECH,
AG=CH,
　　{
∴△AFG≌△CEH(SAS).
(2)解:当AC=2AB时，四边形EH−FG是矩形，证明如下:
　　如图，连接EF交AC于点O,
　　　 由
(1)知,△AFG≌△CEH,
∴FG=EH,∠AGF=∠CHE,
∴∠FGH=∠EHG,
∴FG//HE,
∴四边形EHFG是平行四边形，
∴OG=OH.
∵OA=OC,AG=CH=$\frac{1}{4}$AC,
∴OG=OH=AG=CH=$\frac{1}{4}$AC.
∵AO=OC,CE=BE,
∴OE=$\frac{1}{2}$AB.
∵AB=$\frac{1}{2}$AC,
∴OE=$\frac{1}{4}$AC,
∴OE=OG=OF=OH,
∴EF=
　　GH,
∴四边形EHFG是矩形.
　知识拓展　矩形的判定方法:
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;
(2)有三个角是直角的四边形是矩形;
(3)对角线相等的平行四边形是矩形;
(4)对角线互相平分且相等的四边形是矩形,
　判定时要注意判定的对象是四边形还是平行四边形