《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

21.(本小题满分 12 分)如图,点 $D$ 是 $\triangle ABC$ 的内心,连接 $BD$ 并延长交 $\triangle ABC$ 的外接圆于点 $E$,$BE$ 与 $AC$ 交于点 $F$,连接 $AE$.

(1)设 $\angle ABC=\alpha$,则 $\angle EAC=$$\frac{1}{2}\alpha$;(用含 $\alpha$ 的式子表示)
(2)求证:$AE=DE$;
(3)若 $DE=2$,$BD=1$,求 $EF$ 的长.

答案：
21.[解析]本题考查了三角形的内心、圆的性质、三角形外角性质、等腰三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质.
(1)解：$\frac{1}{2}\alpha$ 提示：$\because$点D是$\triangle ABC$的内心，$\therefore \angle ABE=\angle CBE$.
三角形内心是三条角平分线的交点
$\because \angle ABC=\alpha$，
$\therefore \angle ABE=\angle CBE=\frac{1}{2}\alpha$.
$\because \angle EAC=\angle CBE$，
$\therefore \angle EAC=\frac{1}{2}\alpha$.
(2)证明：如图，连接AD，

$\because$点D是$\triangle ABC$的内心，
$\therefore \angle BAD=\angle CAD,\angle ABE=\angle CBE$.
$\because \angle EAD=\angle EAC+\angle CAD,\angle ADE=\angle ABE+\angle BAD,\angle EAC=\angle CBE$，
$\therefore \angle EAD=\angle ADE$，
$\therefore AE=DE$.
(3)解：设$EF=x$，根据题意，得$AE=DE=2,BE=DE+BD=3$.
$\because \angle EAF=\angle CBF=\angle EBA,\angle AEF=\angle BEA$，
$\therefore \triangle EAF\sim\triangle EBA,\therefore \frac{EA}{EB}=\frac{EF}{EA}$，
$\because AE=2,BE=3,\therefore \frac{2}{3}=\frac{EF}{2}$，
解得$EF=\frac{4}{3}$.故EF的长为$\frac{4}{3}$.

22.(本小题满分 13 分)已知抛物线 $y=x^2+(2m+3)x+n$($m$,$n$ 为常数)过点$(1,5)$.
(1)若该抛物线与 $y$ 轴交于点 $(0,-1)$.
①求该抛物线的表达式;
②已知 $A(x_1,y_1)$,$B(2,y_2)$ 在该抛物线上,若对于 $3t - 1＜x_1＜3t + 2$,都有 $y_1＞y_2$,求 $t$ 的取值范围;
(2)若对于任意实数 $x$,都有 $x^2+(2m+3)x+n\geqslant 3x + 2$,此时抛物线 $y=x^2+(2m+3)x+n$ 与直线 $y=4$ 交于 $M$,$N$ 两点,求 $MN$ 的长.

答案： 22.[解析]本题考查了二次函数综合运用.
解：
(1)①$\because$抛物线$y=x^{2}+(2m+3)x+n$过点$(1,5)$和$(0,-1)$，
$\therefore \begin{cases}1+2m+3+n=5,\\n=-1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=1,\\n=-1,\end{cases}$
$\therefore$抛物线的表达式为$y=x^{2}+5x-1$.
②抛物线$y=x^{2}+5x-1$的对称轴为直线$x=-\frac{5}{2},\therefore B(2,y_{2})$关于对称轴的对称点$B^{\prime}(-7,y_{2})$.$\because$对于$3t-1＜x_{1}＜3t+2$，都有$y_{1}＞y_{2}$，
$\therefore 3t+2\leqslant -7$或$3t-1\geqslant 2$，
解得$t\leqslant -3$或$t\geqslant 1$.
(2)$\because$抛物线$y=x^{2}+(2m+3)x+n$过点$(1,5),\therefore 1+2m+3+n=5$，则$n=1-2m.\because$对于任意实数x，都有$x^{2}+(2m+3)x+n\geqslant 3x+2$，
$\therefore x^{2}+(2m+3)x-1-2m\geqslant 3x+2$对任意实数x都成立，
$\therefore x^{2}+2mx-1-2m\geqslant 0$对任意实数x都成立，
$\therefore \Delta=4m^{2}-4(-1-2m)\leqslant 0$，
$\therefore (m+1)^{2}\leqslant 0,\therefore m=-1$，
$\therefore$抛物线表达式为$y=x^{2}+x+3$.
联立抛物线$y=x^{2}+x+3$与直线$y=4$，得$x^{2}+x+3=4$，
解得$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，
$\therefore$交点M，N的横坐标分别为$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$和$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
$\therefore MN=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}-\frac{-1-\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$.