《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

10.已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a，b，c$为常数，$a≠0)$图象的顶点坐标是$(-1，n)$，且经过$(1，0)，(0，m)，3＜m＜4$.有下列结论：
①关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c - n + 1 = 0(a≠0)$有两个不相等的实数根；
②当$x＞-1$时，$y$的值随$x$值的增大而减小；
③$-\frac{4}{3}＜a＜-1$；
④$4a - 2b + c＞0$；
⑤对于任意实数$t$，总有$(t + 1)(at - a + b)\leq0$.
以上结论正确的有(A).

A.5 个
B.4 个
C.3 个
D.2 个

答案： 10.A [解析]本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质和图象等.
$\because$二次函数$y = ax^{2}+bx + c$图象的顶点坐标是$(-1,n)$，且经过$(1,0)$，$(0,m)$两点，$3＜m＜4$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x = -1$，则$ax^{2}+bx + c = n - 1(a \neq 0)$有两个不相等的实数根，则$ax^{2}+bx + c - n + 1 = 0(a \neq 0)$有两个不相等的实数根.
故①正确，符合题意；
$\because$抛物线开口向下，对称轴为直线$x = -1$，$\therefore$当$x＞-1$时，$y$的值随$x$值的增大而减小.
故②正确，符合题意；
$\because$抛物线与$x$轴的交点为$(1,0)$和$(-3,0)$，$\therefore$二次函数为$y = a(x - 1)(x + 3)=a(x^{2}+2x - 3)$，$\therefore m = -3a$，$\because 3＜m＜4$，$\therefore 3＜-3a＜4$.
解得$-\frac{4}{3}＜a＜-1$.
故③正确，符合题意；
结合函数图象可知，当$x = -2$时，$y = 4a - 2b + c＞0$.
故④正确，符合题意；
$\because$抛物线对称轴为$x =-\frac{b}{2a}=-1$，$\therefore b = 2a$，$\therefore(t + 1)(at - a + b)=(t + 1) · (at - a + 2a)=a(t + 1)(t + 1)=a(t + 1)^{2}$.
$\because a＜0,(t + 1)^{2} \geq 0$，$\therefore a(t + 1)^{2} \leq 0$.
故⑤正确，符合题意.
综上所述，①②③④⑤正确.故选A.

11.已知一个正方形的面积为 2，则其边长为 $\sqrt{2}$.

答案： 11.$\sqrt{2}$ [解析]本题考查了算术平方根.设正方形的边长是$x(x＞0)$，$\because$正方形的面积为2，$\therefore x^{2}=2$，$\therefore x = \sqrt{2}$，$\therefore$正方形的边长为$\sqrt{2}$.

12.在一个不透明的袋中有 2 个红球、3 个黄球和 4 个白球，这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为 $\frac{2}{9}$.

答案： 12.$\frac{2}{9}$ [解析]本题考查了概率的简单应用.
$\because$不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，球的总数为$2 + 3 + 4 = 9$(个)，$\therefore$从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为$\frac{2}{2 + 3 + 4}=\frac{2}{9}$.

13.如图，两条直线$l_{1}，l_{2}$分别经过正六边形$ABCDEF$的顶点$B，C$，且$l_{1}// l_{2}$.当$\angle1 = 37^{\circ}$时，$\angle2 =$97$^{\circ}$.

答案：
13.97 [解析]本题考查了正多边形的内角以及角和差的计算.
如图，

$\because$正六边形内角和为$(6 - 2)×180^{\circ}=720^{\circ}$，$\therefore\angle ABC=\frac{1}{6}×720^{\circ}=120^{\circ}$.
$\because\angle1 = 37^{\circ}$，$\therefore\angle3=\angle ABC - \angle1=120^{\circ}-37^{\circ}=83^{\circ}$.
$\because l_{1} // l_{2}$，$\therefore\angle3 + \angle2 = 180^{\circ}$，$\therefore\angle2 = 180^{\circ}- \angle3 = 180^{\circ}-83^{\circ}=97^{\circ}$.

14.A，B 两地相距$100 km$，甲、乙两人骑车同时分别从 A，B 两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到 A 地的距离$s(km)$与骑车时间$t(h)$的关系如图所示，则他们相遇时距离 A 地$\frac{300}{7}$$km$.

答案： 14.$\frac{300}{7}$ [解析]本题考查了一次函数的应用.
$\because$甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与竖轴的交点为$(0,100)$，$\therefore$设甲的函数图象为$s = k_{1}t$，乙的函数图象为$s = k_{2}t + 100$，则$30 = 2k_{1},80 = k_{2} + 100$，解得$k_{1} = 15,k_{2} = -20$，$\therefore$甲的函数图象为$s = 15t$，乙的函数图象为$s = -20t + 100$，解方程组$\begin{cases}s = 15t,\\s = -20t + 100.\end{cases}$解得$\begin{cases}t = \frac{20}{7},\\s = \frac{300}{7}.\end{cases}$故他们相遇时距离A地$\frac{300}{7}km$.
一题多解 从图中容易求出两人的速度分别为$15km/h,20km/h$，相遇的时间为$\frac{100}{20 + 15}=\frac{20}{7}(h)$，则他们相遇时距离A地为$\frac{20}{7}×15=\frac{300}{7}(km)$.

15.如图，在正方形纸片$ABCD$中，$E$是$AD$上一点，将纸片沿过点$E$的直线折叠，使点$A$落在$CD$上的点$G$处，点$B$落在点$H$处，折痕$EF$交$BC$于点$F$.若$CG = 4$，$EF = 4\sqrt{3}$，则$AB =$$2 + 2\sqrt{5}$.

答案：
15.$2 + 2\sqrt{5}$ [解析]本题考查了与正方形折叠有关的计算.如图，连接$AG$，过点$F$作$FN \perp AD$，垂足为$N$，

则$\angle FNA = \angle FNE = 90^{\circ}$.
$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AB = AD = CD$，$\angle BAD = \angle ABC = \angle D = 90^{\circ}$，$\therefore$四边形$ABFN$是矩形，$\therefore NF = AB = AD$，由折叠可知$AG \perp EF$，$\therefore\angle GAE + \angle AEF = \angle NFE + \angle AEF = 90^{\circ}$，$\therefore\angle GAE = \angle NFE$.
又$\angle FNE = \angle D = 90^{\circ}$，$\therefore \triangle ADG \cong \triangle FNE(ASA)$，$\therefore AG = EF$.
$\because EF = 4\sqrt{3}$，$\therefore AG = EF = 4\sqrt{3}$.
设正方形边长为$x$，则$AB = AD = CD = x$，$\because CG = 4$，$\therefore DG = CD - CG = x - 4$，在$Rt\triangle ADG$中，$AG^{2}=DG^{2}+AD^{2}$，即$(x - 4)^{2}+x^{2}=(4\sqrt{3})^{2}$，$\therefore x^{2}-8x + 16 + x^{2}=48$，解得$x = 2 + 2\sqrt{5}$(负值舍去)，$\therefore AB = 2 + 2\sqrt{5}$.

16.(本小题满分 7 分)计算:$(\pi - 3)^{0}+(\frac{1}{2})^{-1} + | - 5| + 2\sin45^{\circ}-\sqrt{8}$.

答案： 16.[解析]本题考查了实数的的运算.先分别计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值、锐角三角函数、二次根式，最后再做加减运算.
解：原式$=1 + 2 + 5 + 2×\frac{\sqrt{2}}{2}-2\sqrt{2}$
$=1 + 2 + 5 + \sqrt{2}-2\sqrt{2}$
$=8 + \sqrt{2}-2\sqrt{2}$
$=8-\sqrt{2}$.