《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

20. (本小题满分 13 分)某快递公司近年来因电商业务激增，决定将人工分拣中心升级为自动分拣中心.
该公司对以下两种自动分拣方案进行了调研.
方案 A：公司购买安装智能分拣设备. 已知分拣设备日处理 10 万件时，每日总成本为 80 万元；日处理 15 万件时，每日总成本达到最低，最低为 75 万元；日处理 20 万件时，每日总成本回升至 80 万元.
方案 B：公司外包分拣服务. 外包分拣服务除固定的基础服务费 50 万元/日外，每处理 1 万件快递需支付外包公司 3 万元.
设日处理量为$x$(万件)，方案 A 的日总成本为$y_A$(万元)，方案 B 的日总成本为$y_B$(万元).
(1)从一次函数、二次函数或反比例函数中选择适当的函数模型模拟$y_A$ 与$x$ 的函数关系，求出其表达式.
(2)写出$y_B$ 与$x$ 的函数表达式，并求日处理量为多少万件时，两种方案的日总成本相同?

答案： 20.[解析]本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、解一元二次方程.
解：
(1)设二次函数$y_{A}$与$x$的函数关系式为$y_{A}=a(x - 15)^{2}+75$，
将$(10,80)$代入表达式，
得$a(10 - 15)^{2}+75 = 80$，
解得$a=\frac{1}{5}$，
∴$y_{A}=\frac{1}{5}(x - 15)^{2}+75$.
(2)
∵外包分拣服务除固定的基础服务费50万元/日外，每处理1万件快递需支付外包公司3万元，
∴$y_{B}$与$x$的函数表达式为$y_{B}=3x + 50$.
当$y_{A}=y_{B}$时，$\frac{1}{5}(x - 15)^{2}+75 = 3x + 50$，
解得$x = 35$或$x = 10$，
∴日处理量为10万件或35万件时，两种方案的日总成本相同.

21. (本小题满分 12 分)如图，$\triangle ABC$ 内接于$\odot O$，$AB$ 为$\odot O$ 的直径，$\angle BAC$ 的平分线交$BC$ 于点$D$，交$\odot O$ 于点$E$，过点$C$ 作$CF // AE$ 交$BE$ 的延长线于点$F$，连接$OD,OD\perp AB$.
(1)求证:$CF$ 为$\odot O$ 的切线；
(2)已知$AB=4$，求阴影部分的面积.

答案：
21.[解析]本题考查了切线的判定定理、扇形的面积计算、垂径定理、解直角三角形、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、平行线的性质.
(1)证明：如图
(1)，连接$OC$.

∵$OD\perp AB$，$AO = OB$，
∴$\angle AOD = \angle BOD = 90^{\circ}$.
∵$OA = OB$，$OD = OD$，
∴$\triangle AOD≌\triangle BOD(SAS)$，
∴$\angle DAO = \angle DBO$.
∵$AE$平分$\angle BAC$，
∴$\angle CAE = \angle BAE$，
∴$\angle CAE = \angle ABC$，
∴$AC = CE$，
∴$OC\perp AE$.
∵$OC\perp AE$，$CF// AE$，
∴$OC\perp CF$.
∵$OC$是$\odot O$的半径，
∴$CF$是$\odot O$的切线.
(2)解：如图
(2)，连接$CE$，$OE$.

∵$\stackrel\frown{AC}=\stackrel\frown{CE}=\stackrel\frown{BE}$，
∴$\angle ABC = \angle CBF = 30^{\circ}$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，
∴$\angle COE = 2\angle CBE = 60^{\circ}$.
∵$AB = 4$，
∴$BC=\frac{\sqrt{3}}{2}AB = 2\sqrt{3}$.
∵$\angle F = 90^{\circ}$，
∴$CF=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$，
$BF=\frac{\sqrt{3}}{2}BC = 3$.
∵$\angle BCE = \angle BAE = \angle ABC = 30^{\circ}$，
∴$CE// AB$，
∴$S_{\stackrel\frown{COE}}=S_{\triangle BCE}$，
∴$S_{阴影}=S_{\triangle BCF}-S_{扇形COE}=\frac{1}{2}CF· BF-\frac{60\pi×2^{2}}{360}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×3-\frac{2}{3}\pi=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{2}{3}\pi$.