《2026年山东省中考试卷精选九年级数学》

20. (本小题满分 12 分)如图，反比例函数$y = \frac{-6}{x} (x ＜ 0)$和$y = \frac{12}{x} (x ＞ 0)$的图象分别与直线$y = kx + b$依次相交于$A(m, 1)$，$B$，$C(3, n)$三点.
(1)求出直线$AC$对应的函数表达式;
(2)分别以点$A$，$C$为圆心，以大于$\frac{1}{2} AC$长度为半径作弧，两弧相交于点$E$和点$F$.直线$EF$交$y$轴于点$D$，连接$AD$，$CD$.试判断$\triangle ACD$的形状，并说明理由;

(3)请直接写出关于$x$的不等式$kx + b ＜ \frac{-6}{x}$的解集.

答案： 20.[解析]本题考查了反比例函数与一次函数的综合.
(1)先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的表达式;
(2)设点D的坐标为(0,d),根据DA=
DC列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状;
(3)先求出点B的横坐标，然后借助图象得到自变量的取值范围.
　解:
(1)把A(m,1)代入y=$\frac{−6}{x}$(x＜0),得m=−6,
∴点A的坐标为(−6,1).
　把C(3,n)代入y=$\frac{12}{x}$(x＞0),
　得n=4,
∴点C的坐标为(3,4).
　把点(−6,1)和(3,4)代人y=kx+b,
　得$\begin{cases} −6k+b=1, \\ 3k+b=4, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\frac{1}{3}, \\ b=3, \end{cases}$
∴直线AC对应的函数表达式y=
　$\frac{1}{3}$x+3.
(2)△ACD为等腰直角三角形，理由如下:由作图，可得DA=DC,
　即DA²=DC².
　设点D的坐标为(0,d)，
　则6²+(1−d)²=3²+(4−d)²,解得d=−2,
∴DA²=DC²=6²+(1+2)²=45,
AC²=(3+6)²+(4−1)²=90,
∴DA²+DC²=AC²,
∴△ACD是等腰直角三角形.
(3)令$\frac{1}{3}$x+3=$\frac{−6}{x}$,
　解得x₁=−6,x₂=−3,
　由图象可得关于x的不等式kx+b＜$\frac{−6}{x}$的解集为x＜−6或−3＜x＜0.
　方法技巧　判别函数值大小的方法:
(1)通过解方程组或画图找出函数与函数的交点;
(2)过每个交点画x轴的垂线，这样把函数的图象分成若千个区域;
(3)在每个区域内看函数图象的上下关系，函数的图象在上方的比下方的函数的图象的函数值要大.