《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例2 一种耐高温材料,能承受$200\ ^{\circ}C$高温不熔化的概率为$0.9$,能承受$300\ ^{\circ}C$高温不熔化的概率为$0.5$.现有一种这样的材料，在能承受$200\ ^{\circ}C$高温不熔化的情况下,还能承受$300\ ^{\circ}C$高温不熔化的概率是多少?
设事件$A$表示“材料能承受$200\ ^{\circ}C$高温不熔化”，事件$B$表示“材料能承受$300\ ^{\circ}C$高温不熔化”。
根据题意，已知：
$P(A) = 0.9$，
$P(B) = 0.5$，
由于事件$B$（能承受$300\ ^{\circ}C$高温不熔化）是事件$A$（能承受$200\ ^{\circ}C$高温不熔化）的子集，即如果材料能承受$300\ ^{\circ}C$高温不熔化，则它必然能承受$200\ ^{\circ}C$高温不熔化，即$B \subseteq A$。
利用条件概率的计算公式，当$B \subseteq A$时，有：
$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$，
由于$B \subseteq A$，所以$P(AB) = P(B)$，
代入已知的概率值，得到：
$P(B|A) = \frac{P(B)}{P(A)} = \frac{0.5}{0.9} = \frac{5}{9}$。
故答案为$\frac{5}{9}$。

答案： 设事件$A$表示“材料能承受$200\ ^{\circ}C$高温不熔化”，事件$B$表示“材料能承受$300\ ^{\circ}C$高温不熔化”。
根据题意，已知：
$P(A) = 0.9$，
$P(B) = 0.5$，
由于事件$B$（能承受$300\ ^{\circ}C$高温不熔化）是事件$A$（能承受$200\ ^{\circ}C$高温不熔化）的子集，即如果材料能承受$300\ ^{\circ}C$高温不熔化，则它必然能承受$200\ ^{\circ}C$高温不熔化，即$B \subseteq A$。
利用条件概率的计算公式，当$B \subseteq A$时，有：
$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$，
由于$B \subseteq A$，所以$P(AB) = P(B)$，
代入已知的概率值，得到：
$P(B|A) = \frac{P(B)}{P(A)} = \frac{0.5}{0.9} = \frac{5}{9}$。
故答案为$\frac{5}{9}$。

2.判断两事件是否相互独立
例3 容器中盛有$5$个白乒乓球和$3$个黄乒乓球.
(1)“从$8$个球中任意取出$1$个,取出的是白球”与“从剩下的$7$个球中任意取出$1$个,取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？
(2)“从$8$个球中任意取出$1$个,取出的是白球”与“把取出的$1$个白球放回容器,再从容器中任意取出$1$个,取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？
(1)
设“从$8$个球中任意取出$1$个，取出的是白球”为事件$A$，“从剩下的$7$个球中任意取出$1$个，取出的还是白球”为事件$B$。
$P(A)=\frac{5}{8}$，$P(B)=\frac{5}{8}×\frac{4}{7}+\frac{3}{8}×\frac{5}{7}=\frac{5}{8}$，
$P(AB)=\frac{5}{8}×\frac{4}{7}=\frac{5}{14}$，
因为$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{5}{14}}{\frac{5}{8}}=\frac{4}{7}\neq P(B)$，
所以这两个事件不相互独立。
(2)
设“从$8$个球中任意取出$1$个，取出的是白球”为事件$A$，“把取出的$1$个白球放回容器，再从容器中任意取出$1$个，取出的是黄球”为事件$C$。
$P(A)=\frac{5}{8}$，$P(C)=\frac{3}{8}$，
$P(AC)=\frac{5}{8}×\frac{3}{8}=\frac{15}{64}$，
因为$P(AC)=P(A)P(C)$，
所以这两个事件相互独立。

答案：
(1)
设“从$8$个球中任意取出$1$个，取出的是白球”为事件$A$，“从剩下的$7$个球中任意取出$1$个，取出的还是白球”为事件$B$。
$P(A)=\frac{5}{8}$，$P(B)=\frac{5}{8}×\frac{4}{7}+\frac{3}{8}×\frac{5}{7}=\frac{5}{8}$，
$P(AB)=\frac{5}{8}×\frac{4}{7}=\frac{5}{14}$，
因为$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{5}{14}}{\frac{5}{8}}=\frac{4}{7}\neq P(B)$，
所以这两个事件不相互独立。
(2)
设“从$8$个球中任意取出$1$个，取出的是白球”为事件$A$，“把取出的$1$个白球放回容器，再从容器中任意取出$1$个，取出的是黄球”为事件$C$。
$P(A)=\frac{5}{8}$，$P(C)=\frac{3}{8}$，
$P(AC)=\frac{5}{8}×\frac{3}{8}=\frac{15}{64}$，
因为$P(AC)=P(A)P(C)$，
所以这两个事件相互独立。

3.概率的计算
例4 要制造一种机器零件,甲机床的废品率为$0.04$,乙机床的废品率是$0.05$,从它们制造的产品中,各任意抽取一件,求：
(1)其中至少有一件废品的概率;
(2)其中恰有一件废品的概率;
(3)其中至多有一件废品的概率.
设从甲机床抽取的产品为废品为事件$A$，从乙机床抽取的产品为废品为事件$B$。
已知$P(A) = 0.04$，$P(\overline{A})=1 - 0.04 = 0.96$；$P(B) = 0.05$，$P(\overline{B}) = 1 - 0.05 = 0.95$，且$A$与$B$是相互独立事件。
(1)至少有一件废品的概率为：
$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=P(A)+P(B)-P(A) × P(B)=0.04 + 0.05 - 0.04 × 0.05= 0.04+0.05-0.002=0.088$。
(2)恰有一件废品的概率为：
$P(A\overline{B}+\overline{A}B)=P(A\overline{B}) + P(\overline{A}B)=P(A) × P(\overline{B})+P(\overline{A}) × P(B)=0.04 × 0.95 + 0.96 × 0.05= 0.038 + 0.048 = 0.086$。
(3)
“至多有一件废品”的对立事件是“两件都是废品”，
所以至多有一件废品的概率为：
$1 - P(A \cap B)=1 - P(A) × P(B)=1 - 0.04 × 0.05= 1 - 0.002 = 0.998$。

答案： 设从甲机床抽取的产品为废品为事件$A$，从乙机床抽取的产品为废品为事件$B$。
已知$P(A) = 0.04$，$P(\overline{A})=1 - 0.04 = 0.96$；$P(B) = 0.05$，$P(\overline{B}) = 1 - 0.05 = 0.95$，且$A$与$B$是相互独立事件。
(1)至少有一件废品的概率为：
$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=P(A)+P(B)-P(A) × P(B)=0.04 + 0.05 - 0.04 × 0.05= 0.08 + 0.002 = 0.088 -（错误，应为0.04+0.05-0.002=0.088） 0.088$。
(2)恰有一件废品的概率为：
$P(A\overline{B}+\overline{A}B)=P(A\overline{B}) + P(\overline{A}B)=P(A) × P(\overline{B})+P(\overline{A}) × P(B)=0.04 × 0.95 + 0.96 × 0.05= 0.038 + 0.048 = 0.086$。
(3)
“至多有一件废品”的对立事件是“两件都是废品”，
所以至多有一件废品的概率为：
$1 - P(A \cap B)=1 - P(A) × P(B)=1 - 0.04 × 0.05= 1 - 0.002 = 0.998$。