《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

【例1】长方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AB =$4，$AD = 6$，$AA_{1} = 4$，$M$是$A_{1}C_{1}$的中点，$P$在线段$BC$上，且$ | CP | = 2$，$Q$是$DD_{1}$的中
点，求点$M$到直线$PQ$的距离.
√462/6

答案： 以A为原点，AB,AD,AA₁分别为x,y,z轴建立坐标系。
各点坐标：M(2,3,4)，P(4,4,0)，Q(0,6,2)。
向量PQ=Q-P=(-4,2,2)，|PQ|=√[(-4)²+2²+2²]=2√6，单位方向向量s=(-2/√6,1/√6,1/√6)。
向量MP=M-P=(-2,-1,4)，|MP|²=(-2)²+(-1)²+4²=21。
MP·s=(-2)(-2/√6)+(-1)(1/√6)+4(1/√6)=7/√6，|MP·s|²=49/6。
距离d=√(|MP|²-|MP·s|²)=√(21-49/6)=√(77/6)=√462/6。
√462/6