《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例4 质点$M$按规律$s(t) = at^2 + 1$做直线运动（位移$s$的单位为$m$，时间$t$的单位为$s$）.问是否存在常数$a$，使质点$M$在$t = 2 s$时的瞬时速度为$8 m/s$？若存在，求出$a$的值；若不存在，说明理由.
要确定是否存在常数$a$使质点在$t = 2\,s$时的瞬时速度为$8\,m/s$，需通过瞬时速度的定义求解：
步骤1：计算位移增量$\Delta s$
在$t = 2$附近取时间增量$\Delta t$，则：
$\begin{aligned}\Delta s &= s(2+\Delta t) - s(2) \\&= \left[a(2+\Delta t)^2 + 1\right] - \left[a(2)^2 + 1\right] \\&= a\left[(2+\Delta t)^2 - 4\right] \\&= a\left[4 + 4\Delta t + (\Delta t)^2 - 4\right] \\&= a\left[4\Delta t + (\Delta t)^2\right].\end{aligned}$
步骤2：计算平均速度$\frac{\Delta s}{\Delta t}$
$\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{a\left[4\Delta t + (\Delta t)^2\right]}{\Delta t} = 4a + a\Delta t.$
步骤3：求瞬时速度（极限值）
瞬时速度为$\Delta t \to 0$时平均速度的极限：
$v(2) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} (4a + a\Delta t) = 4a.$
步骤4：解方程求$a$
令瞬时速度$v(2) = 8\,m/s$，则：
$4a = 8 \implies a = 2.$
结论：存在常数$a = 2$，满足条件。
$\boxed{2}$

答案： 要确定是否存在常数$a$使质点在$t = 2\,s$时的瞬时速度为$8\,m/s$，需通过瞬时速度的定义求解：
步骤1：计算位移增量$\Delta s$
在$t = 2$附近取时间增量$\Delta t$，则：
$\begin{aligned}\Delta s &= s(2+\Delta t) - s(2) \\&= \left[a(2+\Delta t)^2 + 1\right] - \left[a(2)^2 + 1\right] \\&= a\left[(2+\Delta t)^2 - 4\right] \\&= a\left[4 + 4\Delta t + (\Delta t)^2 - 4\right] \\&= a\left[4\Delta t + (\Delta t)^2\right].\end{aligned}$
步骤2：计算平均速度$\frac{\Delta s}{\Delta t}$
$\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{a\left[4\Delta t + (\Delta t)^2\right]}{\Delta t} = 4a + a\Delta t.$
步骤3：求瞬时速度（极限值）
瞬时速度为$\Delta t \to 0$时平均速度的极限：
$v(2) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} (4a + a\Delta t) = 4a.$
步骤4：解方程求$a$
令瞬时速度$v(2) = 8\,m/s$，则：
$4a = 8 \implies a = 2.$
结论：存在常数$a = 2$，满足条件。
$\boxed{2}$

例5 若一物体的运动方程如下（位移单位为$m$；时间单位为$s$）：
$s = \begin{cases} 3t^2 + 2, & t \geq 3, \\ 29 + 3(t - 3)^2, & 0 \leq t ＜ 3. \end{cases}$
求：(1)物体在$t \in [3, 5]$内的平均速度；
(2)物体的初速度$v_0$.
(1) 当$ t \in [3,5] $时，$ s=3t^2+2 $。
平均速度 $ \overline{v} = \frac{s(5)-s(3)}{5-3} $。
$ s(5)=3×5^2+2=77 \, m $，$ s(3)=3×3^2+2=29 \, m $。
$ \overline{v} = \frac{77-29}{2} = 24 \, m/s $。
(2) 初速度 $ v_0 $ 为 $ t=0 $ 时的瞬时速度，此时 $ s=29+3(t-3)^2 $。
瞬时速度 $ v_0 = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{s(0+\Delta t)-s(0)}{\Delta t} $。
$ s(0)=29+3(0-3)^2=56 \, m $，
$ s(\Delta t)=29+3(\Delta t-3)^2 $，
$ \Delta s = 3(\Delta t^2 -6\Delta t +9)-27=3\Delta t^2 -18\Delta t $，
$ \frac{\Delta s}{\Delta t}=3\Delta t -18 $，
当 $ \Delta t \to 0 $ 时，$ v_0 = -18 \, m/s $。
(1) $ 24 \, m/s $
(2) $ -18 \, m/s $

答案：
(1) 当$ t \in [3,5] $时，$ s=3t^2+2 $。
平均速度 $ \overline{v} = \frac{s(5)-s(3)}{5-3} $。
$ s(5)=3×5^2+2=77 \, m $，$ s(3)=3×3^2+2=29 \, m $。
$ \overline{v} = \frac{77-29}{2} = 24 \, m/s $。
(2) 初速度 $ v_0 $ 为 $ t=0 $ 时的瞬时速度，此时 $ s=29+3(t-3)^2 $。
瞬时速度 $ v_0 = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{s(0+\Delta t)-s(0)}{\Delta t} $。
$ s(0)=29+3(0-3)^2=56 \, m $，
$ s(\Delta t)=29+3(\Delta t-3)^2 $，
$ \Delta s = 3(\Delta t^2 -6\Delta t +9)-27=3\Delta t^2 -18\Delta t $，
$ \frac{\Delta s}{\Delta t}=3\Delta t -18 $，
当 $ \Delta t \to 0 $ 时，$ v_0 = -18 \, m/s $。
(1) $ 24 \, m/s $
(2) $ -18 \, m/s $