《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例2 如图，已知长方体$ABCD - A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$的棱长为$AB = 12$，$AD = 8$，$AA^{\prime}= 5$.以这个长方体的顶点$A$为坐标原点，射线$AB$，$AD$，$AA^{\prime}$分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标.

因为以顶点$A$为坐标原点，射线$AB$，$AD$，$AA^{\prime}$分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴的正半轴，且$AB = 12$，$AD = 8$，$AA^{\prime}= 5$。
所以各顶点坐标如下：
点$A$在原点，坐标为$(0,0,0)$；
点$B$在$x$轴上，$AB = 12$，坐标为$(12,0,0)$；
点$D$在$y$轴上，$AD = 8$，坐标为$(0,8,0)$；
点$A^{\prime}$在$z$轴上，$AA^{\prime}= 5$，坐标为$(0,0,5)$；
点$C$在$xOy$平面内，$AB = 12$，$AD = 8$，坐标为$(12,8,0)$；
点$B^{\prime}$在$xOz$平面内，$AB = 12$，$AA^{\prime}= 5$，坐标为$(12,0,5)$；
点$D^{\prime}$在$yOz$平面内，$AD = 8$，$AA^{\prime}= 5$，坐标为$(0,8,5)$；
点$C^{\prime}$坐标为$(12,8,5)$。
综上，长方体各个顶点的坐标分别为$A(0,0,0)$，$B(12,0,0)$，$C(12,8,0)$，$D(0,8,0)$，$A^{\prime}(0,0,5)$，$B^{\prime}(12,0,5)$，$C^{\prime}(12,8,5)$，$D^{\prime}(0,8,5)$。

答案： 因为以顶点$A$为坐标原点，射线$AB$，$AD$，$AA^{\prime}$分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴的正半轴，且$AB = 12$，$AD = 8$，$AA^{\prime}= 5$。
所以各顶点坐标如下：
点$A$在原点，坐标为$(0,0,0)$；
点$B$在$x$轴上，$AB = 12$，坐标为$(12,0,0)$；
点$D$在$y$轴上，$AD = 8$，坐标为$(0,8,0)$；
点$A^{\prime}$在$z$轴上，$AA^{\prime}= 5$，坐标为$(0,0,5)$；
点$C$在$xOy$平面内，$AB = 12$，$AD = 8$，坐标为$(12,8,0)$；
点$B^{\prime}$在$xOz$平面内，$AB = 12$，$AA^{\prime}= 5$，坐标为$(12,0,5)$；
点$D^{\prime}$在$yOz$平面内，$AD = 8$，$AA^{\prime}= 5$，坐标为$(0,8,5)$；
点$C^{\prime}$坐标为$(12,8,5)$。
综上，长方体各个顶点的坐标分别为$A(0,0,0)$，$B(12,0,0)$，$C(12,8,0)$，$D(0,8,0)$，$A^{\prime}(0,0,5)$，$B^{\prime}(12,0,5)$，$C^{\prime}(12,8,5)$，$D^{\prime}(0,8,5)$。

例3 求点$A(2,-3,-1)$分别关于三个坐标平面及原点$O$的对称点.
关于$xOy$平面的对称点：$(2,-3,1)$；关于$yOz$平面的对称点：$(-2,-3,-1)$；关于$xOz$平面的对称点：$(2,3,-1)$；关于原点$O$的对称点：$(-2,3,1)$。

答案： 关于$xOy$平面的对称点：$(2,-3,1)$；关于$yOz$平面的对称点：$(-2,-3,-1)$；关于$xOz$平面的对称点：$(2,3,-1)$；关于原点$O$的对称点：$(-2,3,1)$。

例4 (1)在空间直角坐标系$O - xyz$中，画出不共线的$3$个点$P,Q,R$，使得这$3$个点的坐标都满足$z = 3$；
(2)写出由(1)中三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件.
(1) 取点 $ P(0,0,3) $，$ Q(1,0,3) $，$ R(0,1,3) $（答案不唯一，只要三点不共线且 $ z=3 $ 即可）。
(2) $ z=3 $。

答案：
(1) 取点 $ P(0,0,3) $，$ Q(1,0,3) $，$ R(0,1,3) $（答案不唯一，只要三点不共线且 $ z=3 $ 即可）。
(2) $ z=3 $。