《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例2 已知函数$f(x)=ax^{3}-6ax^{2}+b,x\in[-1,2]$的最大值为$3$，最小值为$-29$，求$a$，$b$的值.
$f^\prime(x)=3ax^{2}-12ax = 3ax(x - 4)$。
当$a \gt 0$时：
令$f^\prime(x)=0$，得$x = 0$或$x = 4$（舍去$x = 4$），
$x\in[-1,0)$，$f^\prime(x)\gt 0$，$f(x)$单调递增；$x\in(0,2]$，$f^\prime(x)\lt 0$，$f(x)$单调递减。
$f(0)=b$，$f(-1)=-7a + b$，$f(2)=-16a + b$，
比较$f(-1)$与$f(2)$大小，$f(2)-f(-1)=-9a\lt0$，所以$f(x)_{max}=f(0)=b = 3$，$f(x)_{min}=f(2)=-16a + b=-29$，
把$b = 3$代入$-16a + b=-29$，得$-16a+3=-29$，解得$a = 2$。
当$a \lt 0$时：
$f(x)$在$[-1,0)$上单调递减，在$(0,2]$上单调递增。
$f(x)_{min}=f(0)=b=-29$，
$f(2)-f(-1)=-9a\gt0$，所以$f(x)_{max}=f(2)=-16a + b = 3$，
把$b=-29$代入$-16a + b = 3$，得$-16a-29 = 3$，解得$a = -2$。
综上，$\begin{cases}a = 2,\\b = 3.\end{cases}$或$\begin{cases}a = -2,\\b = -29.\end{cases}$

答案： $f^\prime(x)=3ax^{2}-12ax = 3ax(x - 4)$。
当$a \gt 0$时：
令$f^\prime(x)=0$，得$x = 0$或$x = 4$（舍去$x = 4$），
$x\in[-1,0)$，$f^\prime(x)\gt 0$，$f(x)$单调递增；$x\in(0,2]$，$f^\prime(x)\lt 0$，$f(x)$单调递减。
$f(0)=b$，$f(-1)=-7a + b$，$f(2)=-16a + b$，
比较$f(-1)$与$f(2)$大小，$f(2)-f(-1)=-9a\lt0$，所以$f(x)_{max}=f(0)=b = 3$，$f(x)_{min}=f(2)=-16a + b=-29$，
把$b = 3$代入$-16a + b=-29$，得$-16a+3=-29$，解得$a = 2$。
当$a \lt 0$时：
$f(x)$在$[-1,0)$上单调递减，在$(0,2]$上单调递增。
$f(x)_{min}=f(0)=b=-29$，
$f(2)-f(-1)=-9a\gt0$，所以$f(x)_{max}=f(2)=-16a + b = 3$，
把$b=-29$代入$-16a + b = 3$，得$-16a-29 = 3$，解得$a = -2$。
综上，$\begin{cases}a = 2,\\b = 3.\end{cases}$或$\begin{cases}a = -2,\\b = -29.\end{cases}$

例3 设函数$f(x)=tx^{2}+2t^{2}x+t - 1(x\in R,t＞0)$.
(1)求函数$f(x)$的最小值$h(t)$；
(2)在(1)的条件下，若$h(t)＜-2t + m$对$t\in(0,2)$恒成立，求实数$m$的取值范围.
(1)$-t^{3}+t - 1$
(2)$(1, +\infty)$

答案：
(1)
因为$t\gt0$，函数$f(x)=t x^{2}+2t^{2}x + t - 1$的二次项系数$a = t\gt0$，图象开口向上，根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，其对称轴为$x =-\frac{2t^{2}}{2t}=-t$。
所以$f(x)$在$x = - t$处取得最小值，$h(t)=f(-t)=t×(-t)^{2}+2t^{2}×(-t)+t - 1=-t^{3}+t - 1$。
(2)
由$h(t)\lt - 2t + m$对$t\in(0,2)$恒成立，即$m\gt - t^{3}+3t - 1$对$t\in(0,2)$恒成立。
设$\varphi(t)=-t^{3}+3t - 1$，$t\in(0,2)$，对$\varphi(t)$求导得$\varphi^\prime(t)=-3t^{2}+3=-3(t^{2}-1)$。
令$\varphi^\prime(t)=0$，即$-3(t^{2}-1)=0$，解得$t = 1$或$t=-1$（舍去，因为$t\in(0,2)$）。
当$0\lt t\lt1$时，$\varphi^\prime(t)\gt0$，$\varphi(t)$单调递增；当$1\lt t\lt2$时，$\varphi^\prime(t)\lt0$，$\varphi(t)$单调递减。
$\varphi(0)=-1$，$\varphi(1)=-1 + 3 - 1 = 1$，$\varphi(2)=-8 + 6 - 1=-3$。
所以$\varphi(t)$在$(0,2)$上的最大值为$\varphi(1)=1$。
因为$m\gt\varphi(t)_{max}$，所以$m\gt3（这里应为m\gt1）$，即实数$m$的取值范围是$(3（修正为1）,+\infty)$（修正后$m$取值范围是$(1, +\infty)$）。