《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例1 判断题(对的打“$\surd$”，错的打“$×$”)
(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角. (×)
(2)已知$a=(-2,-3,1)$,$b=(2,0,4)$,$c=(-4,-6,2)$,则$a// c$,$a\perp b$. (√)
(3)已知向量$m$,$n$分别是直线$l$的方向向量和平面$\alpha$的法向量，若$\cos\langle m,n\rangle=-\frac{1}{2}$,则直线$l$与平面$\alpha$所成的角为$120^{\circ}$.(×)
(4)已知两平面的法向量分别为$m=(0,1,0)$,$n=(0,1,1)$,则两平面所成的二面角的大小为$45^{\circ}$.(×)

答案：
(1)×
(2)√
(3)×
(4)×
解析：
(1)两直线方向向量夹角范围[0°,180°]，两直线所成角范围[0°,90°]，方向向量夹角为钝角时，线线角为其补角，故错误。
(2)c=2a，故a//c；a·b=(-2)×2+(-3)×0+1×4=0，故a⊥b，正确。
(3)直线与平面所成角θ满足sinθ=|cos〈m,n〉|=1/2，θ=30°，故错误。
(4)法向量夹角余弦值为√2/2，夹角45°，二面角为45°或135°，故错误。

例2 在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，若$\angle BCA=90^{\circ}$,$M$,$N$分别是$A_1B_1$,$A_1C_1$的中点，$BC=CA=CC_1$，则$BM$与$AN$所成角的余弦值为 (C)


A.$\frac{1}{10}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{\sqrt{30}}{10}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： 以$C$为原点，分别以$CA,CB,CC_1$的方向为$x,y,z$轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设$BC = CA = CC_1 = 2$，则$A(2,0,0)$，$B(0,2,0)$，$A_1(2,0,2)$，$B_1(0,2,2)$，$C_1(0,0,2)$，
因为$M$，$N$分别是$A_1B_1$，$A_1C_1$的中点，
所以$M(1,1,2)$，$N(1,0,2)$，
则$\overrightarrow{BM}=(1,-1,2)$，$\overrightarrow{AN}=(-1,0,2)$，
所以$\cos\langle\overrightarrow{BM},\overrightarrow{AN}\rangle=\frac{\overrightarrow{BM}·\overrightarrow{AN}}{\vert\overrightarrow{BM}\vert\vert\overrightarrow{AN}\vert}=\frac{1×(-1)+(-1)×0 + 2×2}{\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}×\sqrt{(-1)^2+0^2+2^2}}=\frac{\sqrt{30}}{10}$，
所以$BM$与$AN$所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$。
故答案为：C. $\frac{\sqrt{30}}{10}$。