《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例2 求函数$f(x) = \frac{\ln x}{x}$的单调区间.
解：
1. 确定定义域
函数$f(x)=\frac{\ln x}{x}$的定义域为$(0,+\infty)$。
2. 求导函数
$f'(x)=\frac{(\ln x)' · x - \ln x · (x)'}{x^2}=\frac{\frac{1}{x} · x - \ln x}{x^2}=\frac{1 - \ln x}{x^2}$。
3. 解不等式$f'(x) ＞ 0$
令$f'(x) ＞ 0$，即$\frac{1 - \ln x}{x^2} ＞ 0$。
因为$x^2 ＞ 0$（$x ＞ 0$），所以$1 - \ln x ＞ 0$，解得$\ln x ＜ 1$，即$0 ＜ x ＜ e$。
故单调递增区间为$(0,e)$。
4. 解不等式$f'(x) ＜ 0$
令$f'(x) ＜ 0$，即$\frac{1 - \ln x}{x^2} ＜ 0$。
因为$x^2 ＞ 0$（$x ＞ 0$），所以$1 - \ln x ＜ 0$，解得$\ln x ＞ 1$，即$x ＞ e$。
故单调递减区间为$(e,+\infty)$。
结论：函数$f(x)=\frac{\ln x}{x}$的单调递增区间为$(0,e)$，单调递减区间为$(e,+\infty)$。

答案： 解：
1. 确定定义域
函数$f(x)=\frac{\ln x}{x}$的定义域为$(0,+\infty)$。
2. 求导函数
$f'(x)=\frac{(\ln x)' · x - \ln x · (x)'}{x^2}=\frac{\frac{1}{x} · x - \ln x}{x^2}=\frac{1 - \ln x}{x^2}$。
3. 解不等式$f'(x) ＞ 0$
令$f'(x) ＞ 0$，即$\frac{1 - \ln x}{x^2} ＞ 0$。
因为$x^2 ＞ 0$（$x ＞ 0$），所以$1 - \ln x ＞ 0$，解得$\ln x ＜ 1$，即$0 ＜ x ＜ e$。
故单调递增区间为$(0,e)$。
4. 解不等式$f'(x) ＜ 0$
令$f'(x) ＜ 0$，即$\frac{1 - \ln x}{x^2} ＜ 0$。
因为$x^2 ＞ 0$（$x ＞ 0$），所以$1 - \ln x ＜ 0$，解得$\ln x ＞ 1$，即$x ＞ e$。
故单调递减区间为$(e,+\infty)$。
结论：函数$f(x)=\frac{\ln x}{x}$的单调递增区间为$(0,e)$，单调递减区间为$(e,+\infty)$。

例3 (1) 若函数$f(x) = kx - \ln x$在区间$(1, +\infty)$单调递增，则$k$的取值范围是$[1,+\infty)$；
(2) 若函数$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}ax^2 + (a - 1)x + 1$在区间$(1,4)$内为减函数，在区间$(6, +\infty)$上为增函数，试求实数$a$的取值范围.

答案：
(1)$[1,+\infty)$；
(2)$[5,7]$