《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例2 已知空间三点$A(-2, 0, 2), B(-1, 1, 2), C(-3, 0, 4)$，设$\boldsymbol{a} = \overrightarrow{AB}, \boldsymbol{b} = \overrightarrow{AC}$.
(1) 若$|\boldsymbol{c}| = 3, \boldsymbol{c} // \overrightarrow{BC}$，求$\boldsymbol{c}$；
(2) 若$k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$与$k\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}$互相垂直，求$k$.
(1)$\boldsymbol{c}=(-2,-1,2)$或$\boldsymbol{c}=(2,1,-2)$；(2)$k = 2$或$k=-\frac{5}{2}$

答案：
(1)
首先求$\overrightarrow{BC}$：
因为$B(-1,1,2)$，$C(-3,0,4)$，所以$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=(-3 + 1,0 - 1,4 - 2)=(-2,-1,2)$。
因为$\boldsymbol{c}//\overrightarrow{BC}$，设$\boldsymbol{c}=t\overrightarrow{BC}=(-2t,-t,2t)$。
又$|\boldsymbol{c}| = 3$，则$\sqrt{(-2t)^{2}+(-t)^{2}+(2t)^{2}} = 3$，即$\sqrt{4t^{2}+t^{2}+4t^{2}} = 3$，$\sqrt{9t^{2}} = 3$，$3|t| = 3$，解得$t=\pm1$。
所以$\boldsymbol{c}=(-2,-1,2)$或$\boldsymbol{c}=(2,1,-2)$。
(2)
先求$\boldsymbol{a}=\overrightarrow{AB}$，$\boldsymbol{b}=\overrightarrow{AC}$：
因为$A(-2,0,2)$，$B(-1,1,2)$，所以$\boldsymbol{a}=\overrightarrow{AB}=(-1+2,1 - 0,2 - 2)=(1,1,0)$。
因为$A(-2,0,2)$，$C(-3,0,4)$，所以$\boldsymbol{b}=\overrightarrow{AC}=(-3+2,0 - 0,4 - 2)=(-1,0,2)$。
则$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k - 1,k,2)$，$k\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}=k(1,1,0)-2(-1,0,2)=(k + 2,k,-4)$。
因为$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$k\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}$互相垂直，所以$(k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})·(k\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}) = 0$。
即$(k - 1)(k + 2)+k× k+2×(-4)=0$，$k^{2}+2k - k - 2+k^{2}-8 = 0$，$2k^{2}+k - 10 = 0$，$(2k + 5)(k - 2)=0$。
解得$k = 2$或$k=-\frac{5}{2}$。
综上，答案为：
(1)$\boldsymbol{c}=(-2,-1,2)$或$\boldsymbol{c}=(2,1,-2)$；
(2)$k = 2$或$k=-\frac{5}{2}$。

例3 已知空间中三点$A(-2, 0, 2), B(-1, 1, 2), C(-3, 0, 4)$.
(1) 求$\cos\angle BAC$；
(2) 求$\triangle ABC$中$BC$边上中线的长度.
(1)$-\frac{\sqrt{10}}{10}$；(2)$\frac{\sqrt{5}}{2}$

答案：
(1)
已知$A(-2,0,2)$，$B(-1,1,2)$，$C(-3,0,4)$，则$\overrightarrow{AB}=(-1 + 2,1 - 0,2 - 2)=(1,1,0)$，$\overrightarrow{AC}=(-3 + 2,0 - 0,4 - 2)=(-1,0,2)$。
根据向量点积公式$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$，可得$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=1×(-1)+1×0 + 0×2=-1$。
根据向量模长公式$\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$，可得$\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}=\sqrt{2}$，$\vert\overrightarrow{AC}\vert=\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$。
根据向量夹角公式$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}}{\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert}$，可得$\cos\angle BAC=\frac{\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert\vert\overrightarrow{AC}\vert}=\frac{-1}{\sqrt{2}×\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$。
(2)
设$BC$的中点为$D$，已知$B(-1,1,2)$，$C(-3,0,4)$，根据中点坐标公式$D(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2},\frac{z_1 + z_2}{2})$，可得$D(\frac{-1-3}{2},\frac{1 + 0}{2},\frac{2 + 4}{2})=(-2,\frac{1}{2},3)$。
又已知$A(-2,0,2)$，则$\overrightarrow{AD}=(-2+2,\frac{1}{2}-0,3 - 2)=(0,\frac{1}{2},1)$。
根据向量模长公式$\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$，可得$\vert\overrightarrow{AD}\vert=\sqrt{0^{2}+(\frac{1}{2})^{2}+1^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，即$BC$边上中线的长度为$\frac{\sqrt{5}}{2}$。
综上，答案为：
(1)$-\frac{\sqrt{10}}{10}$；
(2)$\frac{\sqrt{5}}{2}$。