《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例3 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量$y$(单位：$kg$)与销售价格$x$(单位：元/kg)满足关系式$y = \frac{a}{x - 3} + 10(x - 6)^2$,其中$3 ＜ x ＜ 6$,$a$为常数.已知销售价格为$5$元/kg时,每日可售出该商品$11 kg$.
(1)求$a$的值；
(2)若该商品的成本为$3$元/kg,试确定销售价格$x$的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
(1)
因为当$x = 5$时，$y = 11$，将$x = 5$，$y = 11$代入$y = \frac{a}{x - 3} + 10(x - 6)^2$中，
得$11=\frac{a}{5 - 3}+10×(5 - 6)^2$，
即$11=\frac{a}{2}+10$，
移项可得$\frac{a}{2}=1$，
解得$a = 2$。
(2)
由(1)知，该商品每日的销售量$y=\frac{2}{x - 3}+10(x - 6)^2$，$3\lt x\lt6$。
设商场每日销售该商品所获得的利润为$f(x)$，因为该商品的成本为$3$元/kg，则$f(x)=(x - 3)\left[\frac{2}{x - 3}+10(x - 6)^2\right]=2 + 10(x - 3)(x - 6)^2$，$3\lt x\lt6$。
对$f(x)$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$以及乘积的求导法则$(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime$可得：
$f^\prime(x)=10\left[(x - 6)^2+2(x - 3)(x - 6)\right]=30(x - 4)(x - 6)$。
令$f^\prime(x)=0$，即$30(x - 4)(x - 6)=0$，因为$3\lt x\lt6$，所以$x = 4$。
当$x\in(3,4)$时，$f^\prime(x)\gt0$，$f(x)$单调递增；当$x\in(4,6)$时，$f^\prime(x)\lt0$，$f(x)$单调递减。
所以当$x = 4$时，$f(x)$取得最大值。
综上，当销售价格为$4$元/kg时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。

答案：
(1)
因为当$x = 5$时，$y = 11$，将$x = 5$，$y = 11$代入$y = \frac{a}{x - 3} + 10(x - 6)^2$中，
得$11=\frac{a}{5 - 3}+10×(5 - 6)^2$，
即$11=\frac{a}{2}+10$，
移项可得$\frac{a}{2}=1$，
解得$a = 2$。
(2)
由
(1)知，该商品每日的销售量$y=\frac{2}{x - 3}+10(x - 6)^2$，$3\lt x\lt6$。
设商场每日销售该商品所获得的利润为$f(x)$，因为该商品的成本为$3$元/kg，则$f(x)=(x - 3)\left[\frac{2}{x - 3}+10(x - 6)^2\right]=2 + 10(x - 3)(x - 6)^2$，$3\lt x\lt6$。
对$f(x)$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$以及乘积的求导法则$(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime$可得：
$f^\prime(x)=10\left[(x - 6)^2+2(x - 3)(x - 6)\right]=30(x - 4)(x - 6)$。
令$f^\prime(x)=0$，即$30(x - 4)(x - 6)=0$，因为$3\lt x\lt6$，所以$x = 4$。
当$x\in(3,4)$时，$f^\prime(x)\gt0$，$f(x)$单调递增；当$x\in(4,6)$时，$f^\prime(x)\lt0$，$f(x)$单调递减。
所以当$x = 4$时，$f(x)$取得最大值。
综上，当销售价格为$4$元/kg时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。

例4 已知$A,B$两地相距$200 km$,一只船从$A$地逆水行驶到$B$地,水速为$8 km/h$,船在静水中的速度为$v km/h(8 ＜ v \leq v_0)$.若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比,当$v = 12 km/h$时,每小时的燃料费为$720$元,为了使全程燃料费最省,船的实际速度为多少？
$ 8 \, km/h $

答案： $ 8 \, km/h $