《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例4 已知函数$f(x) = \ln x, g(x) = f(x) + ax^2 + bx$，其中函数$g(x)$的图象在点$(1, g(1))$处的切线平行于$x$轴.
(1) 确定$a$与$b$的关系；
(2) 若$a \geq 0$，试讨论函数$g(x)$的单调性.
(1)
已知$g(x)=f(x)+ax^{2}+bx=\ln x + ax^{2}+bx$，其定义域为$(0,+\infty)$。
对$g(x)$求导得$g^\prime(x)=\frac{1}{x}+2ax + b$。
因为函数$g(x)$的图象在点$(1,g(1))$处的切线平行于$x$轴，所以$g^\prime(1)=0$。
即$1 + 2a + b = 0$，所以$b = -2a - 1$。
(2)
由(1)知$g(x)=\ln x+ax^{2}-(2a + 1)x$，$g^\prime(x)=\frac{1}{x}+2ax-(2a + 1)=\frac{2ax^{2}-(2a + 1)x + 1}{x}=\frac{(2ax - 1)(x - 1)}{x}$。
因为$x＞0$，$a\geq0$。
当$a = 0$时，$g^\prime(x)=\frac{1 - x}{x}$，令$g^\prime(x)＞0$，得$0＜x＜1$；令$g^\prime(x)＜0$，得$x＞1$。
所以$g(x)$在$(0,1)$上单调递增，在$(1,+\infty)$上单调递减。
当$a＞0$时，令$g^\prime(x)=0$，即$\frac{(2ax - 1)(x - 1)}{x}=0$，则$x = 1$或$x=\frac{1}{2a}$。
①当$\frac{1}{2a}=1$，即$a=\frac{1}{2}$时，$g^\prime(x)=\frac{(x - 1)^{2}}{x}\geq0$在$(0,+\infty)$上恒成立，所以$g(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。
②当$\frac{1}{2a}＞1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$时，令$g^\prime(x)＞0$，得$0＜x＜1$或$x＞\frac{1}{2a}$；令$g^\prime(x)＜0$，得$1＜x＜\frac{1}{2a}$。
所以$g(x)$在$(0,1)$，$(\frac{1}{2a},+\infty)$上单调递增，在$(1,\frac{1}{2a})$上单调递减。
③当$0＜\frac{1}{2a}＜1$，即$a＞\frac{1}{2}$时，令$g^\prime(x)＞0$，得$0＜x＜\frac{1}{2a}$或$x＞1$；令$g^\prime(x)＜0$，得$\frac{1}{2a}＜x＜1$。
所以$g(x)$在$(0,\frac{1}{2a})$，$(1,+\infty)$上单调递增，在$(\frac{1}{2a},1)$上单调递减。
综上，当$a = 0$时，$g(x)$在$(0,1)$上单调递增，在$(1,+\infty)$上单调递减；当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，$g(x)$在$(0,1)$，$(\frac{1}{2a},+\infty)$上单调递增，在$(1,\frac{1}{2a})$上单调递减；当$a=\frac{1}{2}$时，$g(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增；当$a＞\frac{1}{2}$时，$g(x)$在$(0,\frac{1}{2a})$，$(1,+\infty)$上单调递增，在$(\frac{1}{2a},1)$上单调递减。

答案：
(1)
已知$g(x)=f(x)+ax^{2}+bx=\ln x + ax^{2}+bx$，其定义域为$(0,+\infty)$。
对$g(x)$求导得$g^\prime(x)=\frac{1}{x}+2ax + b$。
因为函数$g(x)$的图象在点$(1,g(1))$处的切线平行于$x$轴，所以$g^\prime(1)=0$。
即$1 + 2a + b = 0$，所以$b = -2a - 1$。
(2)
由
(1)知$g(x)=\ln x+ax^{2}-(2a + 1)x$，$g^\prime(x)=\frac{1}{x}+2ax-(2a + 1)=\frac{2ax^{2}-(2a + 1)x + 1}{x}=\frac{(2ax - 1)(x - 1)}{x}$。
因为$x＞0$，$a\geq0$。
当$a = 0$时，$g^\prime(x)=\frac{1 - x}{x}$，令$g^\prime(x)＞0$，得$0＜x＜1$；令$g^\prime(x)＜0$，得$x＞1$。
所以$g(x)$在$(0,1)$上单调递增，在$(1,+\infty)$上单调递减。
当$a＞0$时，令$g^\prime(x)=0$，即$\frac{(2ax - 1)(x - 1)}{x}=0$，则$x = 1$或$x=\frac{1}{2a}$。
①当$\frac{1}{2a}=1$，即$a=\frac{1}{2}$时，$g^\prime(x)=\frac{(x - 1)^{2}}{x}\geq0$在$(0,+\infty)$上恒成立，所以$g(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。
②当$\frac{1}{2a}＞1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$时，令$g^\prime(x)＞0$，得$0＜x＜1$或$x＞\frac{1}{2a}$；令$g^\prime(x)＜0$，得$1＜x＜\frac{1}{2a}$。
所以$g(x)$在$(0,1)$，$(\frac{1}{2a},+\infty)$上单调递增，在$(1,\frac{1}{2a})$上单调递减。
③当$0＜\frac{1}{2a}＜1$，即$a＞\frac{1}{2}$时，令$g^\prime(x)＞0$，得$0＜x＜\frac{1}{2a}$或$x＞1$；令$g^\prime(x)＜0$，得$\frac{1}{2a}＜x＜1$。
所以$g(x)$在$(0,\frac{1}{2a})$，$(1,+\infty)$上单调递增，在$(\frac{1}{2a},1)$上单调递减。
综上，当$a = 0$时，$g(x)$在$(0,1)$上单调递增，在$(1,+\infty)$上单调递减；当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，$g(x)$在$(0,1)$，$(\frac{1}{2a},+\infty)$上单调递增，在$(1,\frac{1}{2a})$上单调递减；当$a=\frac{1}{2}$时，$g(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增；当$a＞\frac{1}{2}$时，$g(x)$在$(0,\frac{1}{2a})$，$(1,+\infty)$上单调递增，在$(\frac{1}{2a},1)$上单调递减。