《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例2 一次测验由$25$道选择题构成，每题选对得$4$分，不选或错选得$0$分，满分$100$分. 某学生选对任一题的概率是$0.8$，则该生在这次测试中成绩的期望和标准差分别是80，8
A.$80,8$
B.$80,3$
C.$70,4$
D.$70,3$

答案： A

例3 已知某运动员投篮命中率$P = 0.6$.
(1)求一次投篮中命中次数$X$的期望与方差；
(2)求重复$5$次投篮时，命中次数$Y$的期望与方差.
(1)
对于一次投篮，命中次数$X$服从两点分布，其中$P(X = 1) = 0.6$，$P(X = 0) = 1 - 0.6 = 0.4$。
期望：
$E(X) = 1 × 0.6 + 0 × 0.4 = 0.6$，
方差：
$D(X) = (1 - 0.6)^{2} × 0.6 + (0 - 0.6)^{2} × 0.4 = 0.24$。
(2)
对于重复5次投篮，命中次数$Y$服从二项分布$B(5, 0.6)$。
期望：
$E(Y) = np = 5 × 0.6 = 3$，
方差：
$D(Y) = np(1 - p) = 5 × 0.6 × (1 - 0.6) = 1.2$。

答案：
(1)
对于一次投篮，命中次数$X$服从两点分布，其中$P(X = 1) = 0.6$，$P(X = 0) = 1 - 0.6 = 0.4$。
期望：
$E(X) = 1 × 0.6 + 0 × 0.4 = 0.6$，
方差：
$D(X) = (1 - 0.6)^{2} × 0.6 + (0 - 0.6)^{2} × 0.4 = 0.24$。
(2)
对于重复5次投篮，命中次数$Y$服从二项分布$B(5, 0.6)$。
期望：
$E(Y) = np = 5 × 0.6 = 3$，
方差：
$D(Y) = np(1 - p) = 5 × 0.6 × (1 - 0.6) = 1.2$。

例4 有甲、乙两个建材厂都想投标参加某重点项目建设，为了对重点项目负责，投标前某相关职能部门到这两个建材厂进行了等量的样品检查，分别检查它们的抗拉强度指数，结果如下：

其中$X,Y$分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度指数. 在使用时，要求抗拉强度指数不低于$120$的条件下，比较甲、乙两厂材料哪一种的稳定性较好.
依题意，要求抗拉强度指数不低于120，即考虑条件概率分布。
甲厂：
抗拉强度指数不低于120的取值为120,130,140,150，其条件概率分布如下：
| X | 120 | 130 | 140 | 150 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| P | 0.2 | 0.42 | 0.28 | 0.1 |
计算期望：
$E(X) = 120×0.2 + 130×0.42 + 140×0.28 + 150×0.1 = 130$
计算方差：
$D(X) = (120-130)^2×0.2 + (130-130)^2×0.42 + (140-130)^2×0.28 + (150-130)^2×0.1 = 100×0.2 + 0×0.42 + 100×0.28 + 400×0.1 = 116$
乙厂：
抗拉强度指数不低于120的取值为125,130,145，其条件概率分布如下（注：原低于120的概率为0.3，需对剩余概率归一化，即总概率为0.7，各概率除以0.7）：
| Y | 125 | 130 | 145 |
| --- | --- | --- | --- |
| P | $ \frac{0.4}{0.7} \approx 0.571 $ | $ \frac{0.1}{0.7} \approx 0.143 $ | $ \frac{0.2}{0.7} \approx 0.286 $ |
计算期望：
$E(Y) = 125×\frac{4}{7} + 130×\frac{1}{7} + 145×\frac{2}{7} = \frac{125×4 + 130×1 + 145×2}{7} = \frac{500 + 130 + 290}{7} = \frac{920}{7} \approx 131.43$
计算方差：
$D(Y) = \left(125 - \frac{920}{7}\right)^2×\frac{4}{7} + \left(130 - \frac{920}{7}\right)^2×\frac{1}{7} + \left(145 - \frac{920}{7}\right)^2×\frac{2}{7}$
$= \left(-\frac{45}{7}\right)^2×\frac{4}{7} + \left(-\frac{10}{7}\right)^2×\frac{1}{7} + \left(\frac{95}{7}\right)^2×\frac{2}{7}$
$= \frac{2025×4 + 100×1 + 9025×2}{343} = \frac{8100 + 100 + 18050}{343} = \frac{26250}{343} \approx 76.53$
（注：若按题目简化数据，乙厂方差计算结果为93.25，核心结论一致）
因为$ D(X) > D(Y) $，所以乙厂材料的稳定性较好。

答案： 依题意，要求抗拉强度指数不低于120，即$X\geq10($或$Y\geq)120$时，得甲厂抗拉强度指数不低于120的数据：120,120,130,130,130,140,140,150（实际计算时用120 = 120等对应的概率计算），
甲厂的抗拉强度指数X的概率分布如下表所示：
| X | 110 | 120 | 130 | 140 | 150 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| P | 0.1 | 0.2 | 0.4-0.1=0.3-（原120包含的两个0.1中已算不低于的从120开始算，此处按条件概率重新分布后的，但原题已直接给条件概率分布，按题目新给的不低于后的简化计算）实际按题目给出的不低于120的简化分布： | | ||（直接题目给出的不低于120的） | 120 | 130 | 140 | 150（此处为原150及以上的合并，但题目已给出） || P | 0.2（原120的两个0.1+原可能的其他但题目已简化）实际按题： | 0.42（或按原数据算后简化，但题目直接给出） | 0.28 | 0.1（原150的） |
|（根据题目给出的不低于120的表格重新列） | | | | |
| X | 120 | 130 | 140 | 150 |
| P | 0.1 ÷（总概率1中不低于的比例后的，但题目直接给出）=0.2（题目直接给） | 0.4-0（因为120以下去掉，比例调整，但题目已直接给）=0.42（按题目表格） | 0.1 ÷（同上）=0.28 | 0.2 ÷（同上）=0.1 |
|（使用题目给出的不低于120的简化表格） | | | | |
E(X) = 130 × 0.42 + 140 × 0.28 + 120 × 0.2 + 150 × 0.1 = 130 + 12×(0.28-0.1(因为130已足够多，简化计算理解，实际直接计算)=13+4+3（按实际乘）=12+10（按步骤）=130+（0.42*0+10*0.28+20*0.1（偏移量））=130+2.8+2=134.8-4.8（因为130是基点）=130（直接计算）（实际计算）：
E(X) = 120 × 0.2 + 130 × 0.42 + 140 × 0.28 + 150 × 0.1 = 130，
$D(X) = (120 - 130)^{2} × 0.2 + (130 - 130)^{2} × 0.42 + (140 - 130)^{2} × 0.28 + (150 - 130)^{2} × 0.1= 100 × 0.2 + 0 × 0.42 + 100 × 0.28 + 400 × 0.1 = 116，$
乙厂抗拉强度指数不低于120的数据对应的概率分布如下表所示：
| Y | 125 | 130 | 145 |（因为100,115低于120，所以不计入） |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| P | 0.4 ÷（总概率中不低于的比例，但题目直接给出）=0.4（因为只去掉低于的，且原概率和为1，所以直接按原概率中不低于的算） | 0.1 ÷（同上$）=0.1 × \frac{1}{0.7}（$因为要去掉低于120的概率0.3，所以乘以$\frac{1}{0.7}，$但题目已直接给出不低于的分布$）=0.1429 \approx0.14（$按题目表格直接给出） | 0.2 ÷（同上$）=0.2857\approx0.29（$但题目直接给出） |
|（使用题目给出的不低于120的简化表格） | | | | |
| Y | 125 | 130 | 145 |
| P | 0.4 | 0.14（或$ \frac{1}{7}\approx0.1429，$但题目简化为0.14或按原数据算后四舍五入等，此处按题目意图） | 0.46-0.14-0.4中已包含的等，实际题目直接给出0.46（但总概率为1，所以为1-0.4-0.14=0.46） |
|（按题目表格直接给出的不低于120的） | | | | |
| Y | 125 | 130 | 145 |
| P | 0.4 | 0.1（题目表格中原数据，因为总概率已调整或题目直接给出） | 0.5-0.4-0.1中125和130已占0.5，所以145为0.5，但原题表格总和为1，所以按表格）0.2 ÷（总概率不低于的比例后的，但题目直接给出）=0.46（近似，实际按表格总和为1） ||（使用题目给出的表格，且总和为1） | | | | |E(Y) = 125 × 0.4 + 130 × 0.1 + 145 × 0.5（因为总和为1，且145的概率为1-0.4-0.1=0.5） = 125 × 0.4 + 130 × 0.1 + 145 × 0.5 = 136.5-1.5（因为125比基点130少5，乘以0.4为-2，145比基点多15，乘以0.5为7.5，合计5.5，加上130的1.3（130*0.1），再减去基点多算的0（因为基点没加），所以130+5.5+0-（多减的1.5（因为125实际只比130少5，但计算时用了130-5=125，所以没多减）直接计算）=130+5+1.5（145多出的部分）-0（因为130是基点）=136.5（实际计算）：E(Y) = 125 × 0.4 + 130 × 0.1 + 145 × 0.5 = 136.5，$D(Y) = (125 - 136.5)^{2} × 0.4 + (130 - 136.5)^{2} × 0.1 + (145 - 136.5)^{2} × 0.5= (-11.5)^{2} × 0.4 + (-6.5)^{2} × 0.1 + 8.5^{2} × 0.5= 132.25 × 0.4 + 42.25 × 0.1 + 72.25 × 0.5= 52.9 + 4.225 + 36.125= 93.25，$因为D(X) =116 ＞ D(Y) = 93.25，
所以乙厂材料的稳定性较好。