《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例1 一道单选题有$4$个选项，一个考生可能真的会做，也可能不会做但是猜一个. 假设他会做的概率为$\frac{1}{3}$，而不会做但猜对的概率为$\frac{1}{4}$. 现在已知他选对了，求他确实会做的概率.
设事件$A$为“考生会做”，事件$B$为“考生选对”。
已知：$P(A)=\frac{1}{3}$，$P(\neg A)=1-P(A)=\frac{2}{3}$，$P(B|A)=1$（会做则必选对），$P(B|\neg A)=\frac{1}{4}$（不会做猜对概率）。
由全概率公式得：$P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|\neg A)P(\neg A)=1×\frac{1}{3}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$。
由贝叶斯公式得：$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}=\frac{1×\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$。
结论：$\frac{2}{3}$

答案： 设事件$A$为“考生会做”，事件$B$为“考生选对”。
已知：$P(A)=\frac{1}{3}$，$P(\neg A)=1-P(A)=\frac{2}{3}$，$P(B|A)=1$（会做则必选对），$P(B|\neg A)=\frac{1}{4}$（不会做猜对概率）。
由全概率公式得：$P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|\neg A)P(\neg A)=1×\frac{1}{3}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$。
由贝叶斯公式得：$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}=\frac{1×\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$。
结论：$\frac{2}{3}$