《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例1 如图，已知正三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$
的各棱长都为1，$M$是底面上$BC$边的中点，$N$是侧棱$CC_1$上的点，且$CN=\frac{1}{4}CC_1$.
求证：$AB_1\perp MN$.
以$M$为原点，$MC$方向为$x$轴，$MA$方向为$y$轴，垂直底面方向为$z$轴建立空间直角坐标系。
各点坐标：$A(0,\frac{\sqrt{3}}{2},0)$，$B_1(-\frac{1}{2},0,1)$，$M(0,0,0)$，$N(\frac{1}{2},0,\frac{1}{4})$。
$\overrightarrow{AB_1}=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},1)$，$\overrightarrow{MN}=(\frac{1}{2},0,\frac{1}{4})$。
$\overrightarrow{AB_1}·\overrightarrow{MN}=(-\frac{1}{2})×\frac{1}{2}+(-\frac{\sqrt{3}}{2})×0 + 1×\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}+0+\frac{1}{4}=0$。
$\overrightarrow{AB_1}\perp\overrightarrow{MN}$，故$AB_1\perp MN$。

答案： 以$M$为原点，$MC$方向为$x$轴，$MA$方向为$y$轴，垂直底面方向为$z$轴建立空间直角坐标系。
各点坐标：$A(0,\frac{\sqrt{3}}{2},0)$，$B_1(-\frac{1}{2},0,1)$，$M(0,0,0)$，$N(\frac{1}{2},0,\frac{1}{4})$。
$\overrightarrow{AB_1}=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},1)$，$\overrightarrow{MN}=(\frac{1}{2},0,\frac{1}{4})$。
$\overrightarrow{AB_1}·\overrightarrow{MN}=(-\frac{1}{2})×\frac{1}{2}+(-\frac{\sqrt{3}}{2})×0 + 1×\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}+0+\frac{1}{4}=0$。
$\overrightarrow{AB_1}\perp\overrightarrow{MN}$，故$AB_1\perp MN$。