《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

4.常用分布
例5 为了增加系统的可靠性,人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备).已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”(即一台正常设备,两台备用设备)的配置,这三台设备中,只要有一台能正常工作,计算机网络就不会断掉.如果三台设备各自能正常工作的概率都为$0.9$,它们之间相互不影响,设能正常工作的设备数为$X$.
(1)写出$X$的分布列;
(2)求出计算机网络不会断掉的概率.
(1)由题意知，$X$服从参数为$n=3$，$p=0.9$的二项分布，即$X\sim B(3,0.9)$。
$P(X=0)=C_{3}^{0}(0.9)^{0}(0.1)^{3}=0.001$
$P(X=1)=C_{3}^{1}(0.9)^{1}(0.1)^{2}=0.027$
$P(X=2)=C_{3}^{2}(0.9)^{2}(0.1)^{1}=0.243$
$P(X=3)=C_{3}^{3}(0.9)^{3}(0.1)^{0}=0.729$
所以$X$的分布列为：
| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $P$ | 0.001 | 0.027 | 0.243 | 0.729 |
(2)计算机网络不会断掉，即至少有一台设备能正常工作，所以$P(X\geq1)=1-P(X=0)=1 - 0.001=0.999$

答案：
(1)由题意知，$X$服从参数为$n=3$，$p=0.9$的二项分布，即$X\sim B(3,0.9)$。
$P(X=0)=C_{3}^{0}(0.9)^{0}(0.1)^{3}=0.001$
$P(X=1)=C_{3}^{1}(0.9)^{1}(0.1)^{2}=0.027$
$P(X=2)=C_{3}^{2}(0.9)^{2}(0.1)^{1}=0.243$
$P(X=3)=C_{3}^{3}(0.9)^{3}(0.1)^{0}=0.729$
所以$X$的分布列为：
| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $P$ | 0.001 | 0.027 | 0.243 | 0.729 |
(2)计算机网络不会断掉，即至少有一台设备能正常工作，所以$P(X\geq1)=1-P(X=0)=1 - 0.001=0.999$