《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例$2$ 已知$P,Q$为抛物线$y = x^{2}$上两点，点$P,Q$的横坐标分别为$4, - 2$,过$P,Q$分别作抛物线的切线，两切线交于点$A$，则点$A$的坐标为(1, -8).

答案： $P$点坐标为$(4, 16)$，$Q$点坐标为$(-2, 4)$。
对于函数$y = x^{2}$，其导数为$y^{\prime} = 2x$。
在$P$点处，切线的斜率为$k_1 = 2 × 4 = 8$，
所以$P$点处的切线方程为$y - 16 = 8(x - 4)$，
即$y = 8x - 16$。
在$Q$点处，切线的斜率为$k_2 = 2 × (-2) = -4$，
所以$Q$点处的切线方程为$y - 4 = -4(x + 2)$，
即$y = -4x - 4$。
联立两个切线方程：
$\begin{cases}y = 8x - 16, \\y = -4x -4.\end{cases}$
解得$x = 1$，$y = -8$。
所以，点$A$的坐标为$(1, -8)$。

例3 已知两条曲线$y = \sin x,y = \cos x$，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.
假设存在公共点$(x_{0},y_{0})$，则：
1. 公共点条件：$y_{0}=\sin x_{0}$且$y_{0}=\cos x_{0}$，故$\sin x_{0}=\cos x_{0}$，即$\tan x_{0}=1$，得$x_{0}=\frac{\pi}{4}+k\pi(k\in\mathbb{Z})$。
2. 切线斜率：$y=\sin x$的导数$y'=\cos x$，切线斜率$k_{1}=\cos x_{0}$；$y=\cos x$的导数$y'=-\sin x$，切线斜率$k_{2}=-\sin x_{0}$。
3. 垂直条件：$k_{1}· k_{2}=-1$，即$\cos x_{0}·(-\sin x_{0})=-1$，化简得$\sin x_{0}\cos x_{0}=1$，即$\frac{1}{2}\sin 2x_{0}=1$，则$\sin 2x_{0}=2$。
4. 矛盾：$\sin 2x_{0}\in[-1,1]$，$\sin 2x_{0}=2$无解。
结论：不存在这样的公共点。

答案： 假设存在公共点$(x_{0},y_{0})$，则：
1. 公共点条件：$y_{0}=\sin x_{0}$且$y_{0}=\cos x_{0}$，故$\sin x_{0}=\cos x_{0}$，即$\tan x_{0}=1$，得$x_{0}=\frac{\pi}{4}+k\pi(k\in\mathbb{Z})$。
2. 切线斜率：$y=\sin x$的导数$y'=\cos x$，切线斜率$k_{1}=\cos x_{0}$；$y=\cos x$的导数$y'=-\sin x$，切线斜率$k_{2}=-\sin x_{0}$。
3. 垂直条件：$k_{1}· k_{2}=-1$，即$\cos x_{0}·(-\sin x_{0})=-1$，化简得$\sin x_{0}\cos x_{0}=1$，即$\frac{1}{2}\sin 2x_{0}=1$，则$\sin 2x_{0}=2$。
4. 矛盾：$\sin 2x_{0}\in[-1,1]$，$\sin 2x_{0}=2$无解。
结论：不存在这样的公共点。

例$4$ 求抛物线$y = x^{2}$上的点到直线$x - y - 2 = 0$的最短距离.
设抛物线$y = x^{2}$上的点为$P(x_{0},y_{0})$，其中$y_{0} = x_{0}^{2}$。
利用点到直线的距离公式，点$P(x_{0}, y_{0})$到直线$x - y - 2 = 0$的距离为：
$d = \frac{|x_{0} - y_{0} - 2|}{\sqrt{1^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{|x_{0} - x_{0}^{2} - 2|}{\sqrt{2}}$
这可以简化为：
$d = \frac{|x_{0}^{2} - x_{0} + 2|}{\sqrt{2}}$ （因为$x_{0} - x_{0}^{2} - 2$的绝对值可以转化为$x_{0}^{2} - x_{0} + 2$（因为$x_{0}^{2} - x_{0} + 2$的判别式小于0，所以恒大于0））
为了找到d的最小值，令$f(x) = x^{2} - x + 2$，对它求导得到：
$f^{\prime}(x) = 2x - 1$
令$f^{\prime}(x) = 0$，
解得$x = \frac{1}{2}$。
将$x = \frac{1}{2}$代入$f(x)$，得到$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{7}{4}$。
因为$f^{\prime\prime}(x)=2＞0$，所以$x = \frac{1}{2}$是一个最小值点。
所以d的最小值为：
$\frac{7}{4\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{8}$
综上可得，抛物线$y = x^{2}$上的点到直线$x - y - 2 = 0$的最短距离为$\frac{7\sqrt{2}}{8}$。

答案： 设抛物线$y = x^{2}$上的点为$P(x_{0},y_{0})$，其中$y_{0} = x_{0}^{2}$。
利用点到直线的距离公式，点$P(x_{0}, y_{0})$到直线$x - y - 2 = 0$的距离为：
$d = \frac{|x_{0} - y_{0} - 2|}{\sqrt{1^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{|x_{0} - x_{0}^{2} - 2|}{\sqrt{2}}$
这可以简化为：
$d = \frac{|x_{0}^{2} - x_{0} + 2|}{\sqrt{2}}$ （因为$x_{0} - x_{0}^{2} - 2$的绝对值可以转化为$x_{0}^{2} - x_{0} + 2$（因为$x_{0}^{2} - x_{0} + 2$的判别式小于0，所以恒大于0））
为了找到d的最小值，令$f(x) = x^{2} - x + 2$，对它求导得到：
$f^{\prime}(x) = 2x - 1$
令$f^{\prime}(x) = 0$，
解得$x = \frac{1}{2}$。
将$x = \frac{1}{2}$代入$f(x)$，得到$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{7}{4}$。
因为$f^{\prime\prime}(x)=2＞0$，所以$x = \frac{1}{2}$是一个最小值点。
所以d的最小值为：
$\frac{7}{4\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{8}$
综上可得，抛物线$y = x^{2}$上的点到直线$x - y - 2 = 0$的最短距离为$\frac{7\sqrt{2}}{8}$。