《2025年新课程同步导学高中数学选择性必修第二册湘教版》

例2 若$\{a,b,c\}$是空间的一组基，判断$\{a+b,b+c,c+a\}$能否作为该空间的一组基.
要判断$\{\mathbf{a + b, b + c, c + a}\}$能否作为空间的一组基，需验证这三个向量是否不共面，根据空间向量基本定理，假设存在实数$x, y, z$，使得：
$x(\mathbf{a} + \mathbf{b}) + y(\mathbf{b} + \mathbf{c}) + z(\mathbf{c} + \mathbf{a}) = \mathbf{0}$。
整理可得：
$(x + z)\mathbf{a} + (x + y)\mathbf{b} + (y + z)\mathbf{c} = \mathbf{0}$。
由于$\{\mathbf{a, b, c}\}$是空间的一组基，因此它们线性无关。从而有线性方程组：
$\begin{cases}x + z = 0, \\x + y = 0, \\y + z = 0.\end{cases}$
该方程组的系数矩阵为：
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 1\end{bmatrix}$。
计算其行列式：
$\begin{vmatrix}1 & 0 & 1 \\1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 1\end{vmatrix} = 1 × \begin{vmatrix}1 & 0 \\1 & 1\end{vmatrix} - 0 × \begin{vmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{vmatrix} + 1 × \begin{vmatrix}1 & 1 \\0 & 1\end{vmatrix} = 1 × (1 - 0) + 1 × (1 - 0) = 2 \neq 0$。
由于系数矩阵的行列式不为零，方程组仅有零解$x = y = z = 0$。
因此，向量$\mathbf{a + b, b + c, c + a}$线性无关，不共面。
故$\{\mathbf{a + b, b + c, c + a}\}$可以作为该空间的一组基。

答案： 要判断$\{\mathbf{a + b, b + c, c + a}\}$能否作为空间的一组基，需验证这三个向量是否不共面，根据空间向量基本定理，假设存在实数$x, y, z$，使得：
$x(\mathbf{a} + \mathbf{b}) + y(\mathbf{b} + \mathbf{c}) + z(\mathbf{c} + \mathbf{a}) = \mathbf{0}$。
整理可得：
$(x + z)\mathbf{a} + (x + y)\mathbf{b} + (y + z)\mathbf{c} = \mathbf{0}$。
由于$\{\mathbf{a, b, c}\}$是空间的一组基，因此它们线性无关。从而有线性方程组：
$\begin{cases}x + z = 0, \\x + y = 0, \\y + z = 0.\end{cases}$
该方程组的系数矩阵为：
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 1\end{bmatrix}$。
计算其行列式：
$\begin{vmatrix}1 & 0 & 1 \\1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 1\end{vmatrix} = 1 × \begin{vmatrix}1 & 0 \\1 & 1\end{vmatrix} - 0 × \begin{vmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{vmatrix} + 1 × \begin{vmatrix}1 & 1 \\0 & 1\end{vmatrix} = 1 × (1 - 0) + 1 × (1 - 0) = 2 \neq 0$。
由于系数矩阵的行列式不为零，方程组仅有零解$x = y = z = 0$。
因此，向量$\mathbf{a + b, b + c, c + a}$线性无关，不共面。
故$\{\mathbf{a + b, b + c, c + a}\}$可以作为该空间的一组基。

例3 如图，在平行六面体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$P$是$CA_1$的中点，$M$是$CD_1$的中点，$N$是$C_1D_1$的中点，点$Q$是$CA_1$上的点，且$CQ:QA_1 = 4:1$.设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$,$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$,$\overrightarrow{AA_1}=\boldsymbol{c}$,以$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{c}$为一组基，求$\overrightarrow{AP}$,$\overrightarrow{AM}$,$\overrightarrow{AN}$,$\overrightarrow{AQ}$在这组基下的坐标.

$\overrightarrow{AP}$坐标$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$；$\overrightarrow{AM}$坐标$\left(\frac{1}{2},1,\frac{1}{2}\right)$；$\overrightarrow{AN}$坐标$\left(\frac{1}{2},1,1\right)$；$\overrightarrow{AQ}$坐标$\left(\frac{1}{5},\frac{1}{5},\frac{4}{5}\right)$。

答案： $\overrightarrow{AP}$坐标$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$；$\overrightarrow{AM}$坐标$\left(\frac{1}{2},1,\frac{1}{2}\right)$；$\overrightarrow{AN}$坐标$\left(\frac{1}{2},1,1\right)$；$\overrightarrow{AQ}$坐标$\left(\frac{1}{5},\frac{1}{5},\frac{4}{5}\right)$。